A aceleração de uma partícula em função do tempo é a(t)=-A cos (omega t) (i)-A sin (omega t) j, com A=3 m / s^2 e omega=2 pi radianos / s. A velocidade inicial é v(0)=B j, com B=2 m / s. Calcule a velocidade v(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente precisa encontrar a velocidade da partícula em função do tempo, v(t). Para isso, vamos usar o que sabemos sobre aceleração e como ela se relaciona com velocidade. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, já que a velocidade é a integral da aceleração. Vamos precisar entender como integrar funções trigonométricas e aplicar as condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Ou seja,
v(t) = v(0) + integral0^t a(t') , dt'
Aqui, v(0) é a velocidade inicial, que já foi dada no problema.

Passo 3

Vamos separar as componentes da aceleração para integrar cada uma delas. A aceleração dada é:
a(t) = -A cos (omega t) , i - A sin (omega t) , j
Portanto, a componente i da aceleração é -A cos (omega t) e a componente j é -A sin (omega t).

Passo 4

Agora, vamos integrar cada componente separadamente para encontrar as componentes da velocidade.
Para a componente i:
vi(t) = vi(0) + integral0^t -A cos (omega t') , dt'
E para a componente j:
vj(t) = vj(0) + integral0^t -A sin (omega t') , dt'

Passo 5

Vamos calcular a integral da componente i:
integral -A cos (omega t') , dt' = -Aomega sin (omega t') + C
Considerando que em t = 0, a integral é zero, temos que C = 0. Assim,
vi(t) = vi(0) - Aomega sin (omega t)
Como a velocidade inicial na direção i é zero ( v(0) = B j), temos vi(0) = 0. Então,
vi(t) = -Aomega sin (omega t)

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral da componente j:
integral -A sin (omega t') , dt' = Aomega cos (omega t') + C
Novamente, considerando que em t = 0, a integral é zero, temos C = -Aomega. Assim,
vj(t) = vj(0) + Aomega cos (omega t) - Aomega
Sabendo que vj(0) = B, substituímos:
vj(t) = B + Aomega cos (omega t) - Aomega
Simplificando,
vj(t) = B - Aomega (1 - cos (omega t))

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores dados no problema:
  • A = 3 , m/s^2
  • omega = 2pi , rad/s
  • B = 2 , m/s
Substituindo na expressão da componente i:
vi(t) = -32pi sin (2pi t)
E na componente j:
vj(t) = 2 - 32pi (1 - cos (2pi t))

Resposta

A velocidade em função do tempo é
v(t) = -32pi sin (2pi t) , i + (2 - 32pi (1 - cos (2pi t))) j

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