A aceleração de uma partícula em função do tempo é
, com
e
. A velocidade inicial é
. Calcule a velocidade
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente precisa encontrar a velocidade da partícula em função do tempo,
. Para isso, vamos usar o que sabemos sobre aceleração e como ela se relaciona com velocidade. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, já que a velocidade é a integral da aceleração. Vamos precisar entender como integrar funções trigonométricas e aplicar as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Ou seja,
Aqui,
é a velocidade inicial, que já foi dada no problema.
Passo 3
Vamos separar as componentes da aceleração para integrar cada uma delas. A aceleração dada é:
Portanto, a componente
da aceleração é
e a componente
é
.
Passo 4
Agora, vamos integrar cada componente separadamente para encontrar as componentes da velocidade.
Para a componente
:
E para a componente
:
Passo 5
Vamos calcular a integral da componente
:
Considerando que em
, a integral é zero, temos que
. Assim,
Como a velocidade inicial na direção
é zero (
), temos
. Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral da componente
:
Novamente, considerando que em
, a integral é zero, temos
. Assim,
Sabendo que
, substituímos:
Simplificando,
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores dados no problema:
Substituindo na expressão da componente
:
E na componente
:
Resposta
A velocidade em função do tempo é