A aceleração de uma partícula que se move em linha reta é dada por a(t)=6 t+2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. No tempo t=0, a velocidade da partícula é de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a sua posição é de 10 m . Qual é a posição da partícula no tempo t=2 s ?

Passo 1

O enunciado dá a aceleração de uma partícula em movimento retilíneo como
a(t)=6\,t+2\quad(\mathrm{m/s}^2),
e informa que em t=0 a velocidade vale 4,m/s e a posição vale 10,m. Vamos usar cálculo de integrais para, primeiro, obter a velocidade a partir de a(t) e aplicar a condição inicial v(0)=4, e depois integrar v(t) para obter a posição x(t), aplicando x(0)=10. Finalmente, avaliaremos x(2).

Passo 2

Integramos a aceleração para achar a velocidade geral:
v(t)=\int a(t)\,dt =\int\bigl(6\,t+2\bigr)\,dt =3\,t^2+2\,t+C_1.

Passo 3

Usamos a condição inicial v(0)=4 para determinar C_1:
v(0)=3\cdot0^2+2\cdot0+C_1=4 \quad\Longrightarrow\quad C_1=4.
Logo,
v(t)=3\,t^2+2\,t+4.

Passo 4

Integramos v(t) para obter a posição geral:
x(t)=\int v(t)\,dt =\int\bigl(3\,t^2+2\,t+4\bigr)\,dt =t^3+t^2+4\,t+C_2.

Passo 5

Usamos a condição inicial x(0)=10 para achar C_2:
x(0)=0^3+0^2+4\cdot0+C_2=10 \quad\Longrightarrow\quad C_2=10.
Portanto,
x(t)=t^3+t^2+4\,t+10.

Passo 6

Para t=2,s, temos
x(2)=2^3+2^2+4\cdot2+10 =8+4+8+10 =30\\ (\mathrm{m}).

Resposta

30,m

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