Seja R a região delimitada pelos gráficos das funções
e
a, Esboce o gráfico da região R delimitada pelas funções.
, Calcule a área da região
.
a, Esboce o gráfico da região R delimitada pelas funções.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a região
limitada pelas curvas
e
isto é, a parte do plano onde a parábola voltada para cima
fica abaixo da parábola voltada para baixo
. Precisamos (a) esboçar essa região e (b) calcular sua área usando integração.
Passo 2
Primeiro encontramos os pontos de interseção, resolvendo
Isso dá
Logo, as curvas se cruzam em
e
.
Passo 3
Para esboçar, note que
-
é uma parábola com vértice em abrindo para cima. -
é uma parábola com vértice em abrindo para baixo.
Entree , a curva fica acima de . A região é o “lente” simétrica em torno do eixo , com topo na parábola de vértice em e base na parábola de vértice em .
Passo 4
A área de
é dada pela integral
Como o integrando é par, podemos escrever
Passo 5
Calculando a integral:
Multiplicando por 2:
Resposta
A área da região
é
.