Seja R a região delimitada pelos gráficos das funções y=x^{2} e y=4-x^{2}
a, Esboce o gráfico da região R delimitada pelas funções.
b, Calcule a área da região R.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a região R limitada pelas curvas
y = x^2
e
y = 4 - x^2,
isto é, a parte do plano onde a parábola voltada para cima y=x^2 fica abaixo da parábola voltada para baixo y=4-x^2. Precisamos (a) esboçar essa região e (b) calcular sua área usando integração.

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção, resolvendo
x^2 = 4 - x^2.
Isso dá
2x^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \sqrt{2}.
Logo, as curvas se cruzam em \bigl(-\sqrt{2},\,2\bigr) e \bigl(\sqrt{2},\,2\bigr).

Passo 3

Para esboçar, note que
  • y=x^2 é uma parábola com vértice em (0,0) abrindo para cima.
  • y=4-x^2 é uma parábola com vértice em (0,4) abrindo para baixo.
    Entre x=-\sqrt{2} e x=\sqrt{2}, a curva y=4-x^2 fica acima de y=x^2. A região R é o “lente” simétrica em torno do eixo y, com topo na parábola de vértice em (0,4) e base na parábola de vértice em (0,0).

Passo 4

A área de R é dada pela integral
\text{Área} = \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\bigl[\,(4 - x^2) - (x^2)\bigr]\;dx = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\bigl(4 - 2x^2\bigr)\;dx.Á
Como o integrando é par, podemos escrever
\text{Área} = 2\int_{0}^{\sqrt{2}}\bigl(4 - 2x^2\bigr)\;dx.Á

Passo 5

Calculando a integral:
\int_{0}^{\sqrt{2}}\bigl(4 - 2x^2\bigr)\;dx = \bigl[\,4x - 2\cdot\tfrac{x^3}{3}\bigr]_{0}^{\sqrt{2}} = \Bigl(4\sqrt{2} - \tfrac{2(\sqrt{2})^3}{3}\Bigr) = 4\sqrt{2} - \tfrac{4\sqrt{2}}{3} = \tfrac{12\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{3} = \tfrac{8\sqrt{2}}{3}.
Multiplicando por 2:
\text{Área} = 2 \times \tfrac{8\sqrt{2}}{3} = \tfrac{16\sqrt{2}}{3}.Á

Resposta

A área da região R é \displaystyle \frac{16\sqrt{2}}{3}.

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