Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 para f(x, y) próximo da origem.
f(x, y)=x e^{y}

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 2 de f(x,y)=x e^y em torno de (0,0). Para duas variáveis, a fórmula geral até a ordem 2 é
T_2(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y+ \frac12\bigl(f_{xx}(0,0)\,x^2+2f_{xy}(0,0)\,xy+f_{yy}(0,0)\,y^2\bigr).

Passo 2

Calcular f(0,0) e as derivadas de primeira ordem em (0,0).
f(0,0)=0\cdot e^0=0.
f_x(x,y)=e^y,\quad f_x(0,0)=e^0=1.
f_y(x,y)=x e^y,\quad f_y(0,0)=0\cdot e^0=0.

Passo 3

Calcular as derivadas de segunda ordem em (0,0).
f_{xx}(x,y)=0,\quad f_{xx}(0,0)=0.
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(e^y)=e^y,\quad f_{xy}(0,0)=1.
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x e^y)=x e^y,\quad f_{yy}(0,0)=0.

Passo 4

Substituir na fórmula de T_2:
T_2(x,y)=0+1\cdot x+0\cdot y +\frac12\bigl(0\cdot x^2+2\cdot1\cdot xy+0\cdot y^2\bigr) =x+\frac12\cdot2\,xy =x+xy.

Resposta

T_2(x,y)=x+xy.

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