Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 para f(x, y) próximo da origem.
f(x, y)=\cos x \cos y

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 2 da função \cos x\cos y centrado na origem. Vamos usar o desenvolvimento de Taylor em duas variáveis até a segunda ordem, que envolve valores da função, das derivadas parciais de primeira e segunda ordem em (0,0).

Passo 2

A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau 2 para f(x,y) em torno de (a,b) é
T_2(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b) +\frac12\bigl(f_{xx}(a,b)(x-a)^2+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^2\bigr).
No nosso caso, a=0 e b=0.

Passo 3

Calculamos f e as derivadas parciais de primeira ordem em (0,0).
A função é
f(x,y)=\cos x\cos y,
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f(0,0)=\cos0\cos0=1.
As derivadas são
f_x(x,y)=-\sin x\cos y,\quad f_y(x,y)=-\cos x\sin y
e em (0,0) ambas anulam-se:
f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0.

Passo 4

Agora as derivadas de segunda ordem:
f_{xx}(x,y)=-\cos x\cos y,\quad f_{xy}(x,y)=\sin x\sin y,\quad f_{yy}(x,y)=-\cos x\cos y.
Em (0,0) isso dá
f_{xx}(0,0)=-1,\quad f_{xy}(0,0)=0,\quad f_{yy}(0,0)=-1.

Passo 5

Substituindo na fórmula de Taylor de grau 2 em (0,0):
T_2(x,y)=1+0\cdot x+0\cdot y +\frac12\bigl(-1\cdot x^2+2\cdot0\cdot xy+(-1)\cdot y^2\bigr) =1-\frac{x^2+y^2}{2}.

Resposta

T_2(x,y)=1-\tfrac{x^2+y^2}{2}.

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