Considere uma barra de ferro de comprimento \mathbf{L} onde a temperatura ao longo do seu comprimento é dada por T(x)=5 x e^{x^{2}}, x é a posição na barra. Calcule a variação total da temperatura ( \Delta T ) ao longo da barra. Nota: \Delta T= \int T(x) d x.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura ao longo de uma barra de comprimento L por
T(x)=5\,x\,e^{x^{2}},
e pede a variação total de temperatura
\Delta T = \int_{0}^{L} T(x)\,dx.
Vamos calcular essa integral usando técnica de substituição.

Passo 2

Escrevemos a integral definida:
\Delta T = \int_{0}^{L} 5\,x\,e^{x^{2}}\,dx.
Como aparece x\,dx junto de e^{x^{2}}, fazemos a substituição
u = x^{2} \quad\Longrightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral:
\Delta T = \int_{0}^{L} 5\,x\,e^{x^{2}}\,dx = 5 \int_{u(0)}^{u(L)} e^{u}\,\frac{du}{2} = \frac{5}{2} \int_{0}^{L^{2}} e^{u}\,du = \frac{5}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{L^{2}} = \frac{5}{2}\bigl(e^{L^{2}}-e^{0}\bigr) = \frac{5}{2}\bigl(e^{L^{2}}-1\bigr).

Resposta

\Delta T = \frac{5}{2}\bigl(e^{L^{2}}-1\bigr).

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