A aceleração de uma partícula que se move no plano é dada por \mathbf{a}(\mathbf{t})=3,00 \mathbf{i}+2,5
j. Determine:
a) a equação da velocidade no plano supondo a partícula partindo do repouso.
b) a equação da posição no plano supondo a partícula partindo da posição inicial \mathbf{r 0}=5,0 \mathbf{i}-3,0 \mathbf{j}.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração de uma partícula em movimento no plano como
\mathbf{a}(t)=3{,}00\,\mathbf{i}+2{,}50\,\mathbf{j}
e pede (a) a velocidade quando a partícula sai do repouso e (b) a posição quando parte de \mathbf{r}(0)=5{,}0\,\mathbf{i}-3{,}0\,\mathbf{j}.
O conteúdo aqui é cinemática vetorial com aceleração constante: vamos integrar a aceleração para obter a velocidade e em seguida integrar a velocidade para obter a posição, aplicando as condições iniciais.

Passo 2

Para achar a velocidade, integramos componente a componente e usamos \mathbf{v}(0)=\mathbf{0}:
\mathbf{v}(t)=\int \mathbf{a}(t)\,dt =\int\bigl(3{,}00\,\mathbf{i}+2{,}50\,\mathbf{j}\bigr)\,dt =3{,}00\,t\,\mathbf{i}+2{,}50\,t\,\mathbf{j}+ \mathbf{C}.
Como \mathbf{v}(0)=\mathbf{0}, a constante vetorial \mathbf{C}=\mathbf{0}. Logo,
\boxed{\mathbf{v}(t)=3{,}00\,t\,\mathbf{i}+2{,}50\,t\,\mathbf{j}}.

Passo 3

Para achar a posição, integramos \mathbf{v}(t) e usamos \mathbf{r}(0)=5{,}0\,\mathbf{i}-3{,}0\,\mathbf{j}:
\mathbf{r}(t)=\int \mathbf{v}(t)\,dt =\int\bigl(3{,}00\,t\,\mathbf{i}+2{,}50\,t\,\mathbf{j}\bigr)\,dt =1{,}50\,t^2\,\mathbf{i}+1{,}25\,t^2\,\mathbf{j}+\mathbf{D}.
Impondo \mathbf{r}(0)=\mathbf{D}=5{,}0\,\mathbf{i}-3{,}0\,\mathbf{j}, obtemos
\boxed{\mathbf{r}(t)=\bigl(5{,}0+1{,}50\,t^2\bigr)\mathbf{i}+\bigl(-3{,}0+1{,}25\,t^2\bigr)\mathbf{j}}.

Resposta

a) \mathbf{v}(t)=3{,}00\,t\,\mathbf{i}+2{,}50\,t\,\mathbf{j}.
b) \mathbf{r}(t)=\bigl(5{,}0+1{,}50\,t^2\bigr)\mathbf{i}+\bigl(-3{,}0+1{,}25\,t^2\bigr)\mathbf{j}.

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