(Revisão conceitual) Considere duas cargas pontuais q e Q separadas por uma distância r.
(a) Escreva a expressão da força elétrica entre elas.
(b) Mostre que o trabalho realizado pela força elétrica ao deslocar q de r_{1} até r_{2} depende apenas da posição inicial e final.
(c) Explique por que isso caracteriza o campo elétrico como conservativo.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre duas cargas pontuais q e Q separadas por uma distância r: (a) a expressão da força elétrica entre elas; (b) mostrar que o trabalho para mover q de r_{1} até r_{2} depende só de r_{1} e r_{2}; (c) explicar por que isso faz o campo elétrico ser conservativo. Vamos usar a Lei de Coulomb e a definição de trabalho como integral da força.

Passo 2

A força elétrica entre duas cargas puntiformes é dada pela Lei de Coulomb. Em módulo e direção radial, temos
\mathbf{F}(r)=k\,\frac{q\,Q}{r^{2}}\,\hat{r},
onde k=1/(4\pi\varepsilon_{0}) e \hat{r} é o vetor unitário que aponta de uma carga para a outra. O sinal do produto qQ determina se a força é repulsiva qQ>0 ou atrativa qQ<0.

Passo 3

O trabalho realizado pela força elétrica ao deslocar q radialmente de r_{1} até r_{2} é
W=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\mathbf{F}(r)\cdot d\mathbf{r}.
Como \mathbf{F} é radial e d\mathbf{r}=dr\,\hat{r}, isso vira
W=\int_{r_{1}}^{r_{2}}k\,\frac{q\,Q}{r^{2}}\,dr = k\,q\,Q\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{1}{r^{2}}\,dr = k\,q\,Q\Bigl(-\frac{1}{r}\Bigr)\Big|_{r_{1}}^{r_{2}} = k\,q\,Q\Bigl(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\Bigr).
Vê-se que W depende apenas de r_{1} e r_{2}, não do caminho.

Passo 4

O fato de o trabalho depender só das posições inicial e final implica que, se a carga q fizer um percurso fechado r_{1}=r_{2}, o trabalho total é zero. Essa propriedade — trabalho de uma força sobre um ciclo fechado igual a zero e independência de caminho — caracteriza um campo como conservativo. No caso, define-se ainda uma função potencial
U(r)=k\,\frac{q\,Q}{r}
tal que W=U(r_{1})-U(r_{2}).

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{F}(r)=k\,\frac{q\,Q}{r^{2}}\,\hat{r}.
(b) \displaystyle W=k\,q\,Q\Bigl(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\Bigr), que depende só de r_{1} e r_{2}.
(c) Porque o trabalho sobre um percurso fechado é zero e o valor depende apenas das posições inicial e final, logo o campo elétrico é conservativo.

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