(Revisão conceitual) Considere duas cargas pontuais q e Q separadas por uma distância r.
(a) Escreva a expressão da força elétrica entre elas.
(b) Mostre que o trabalho realizado pela força elétrica ao deslocar q de r_{1} até r_{2} depende apenas da posição inicial e final.
(c) Explique por que isso caracteriza o campo elétrico como conservativo.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre duas cargas pontuais q e Q separadas por uma distância r: (a) a expressão da força elétrica entre elas; (b) mostrar que o trabalho para mover q de r_{1} até r_{2} depende só de r_{1} e r_{2}; (c) explicar por que isso faz o campo elétrico ser conservativo. Vamos usar a Lei de Coulomb e a definição de trabalho como integral da força.
Passo 2
A força elétrica entre duas cargas puntiformes é dada pela Lei de Coulomb. Em módulo e direção radial, temos
\mathbf{F}(r)=k\,\frac{q\,Q}{r^{2}}\,\hat{r},
onde k=1/(4\pi\varepsilon_{0}) e \hat{r} é o vetor unitário que aponta de uma carga para a outra. O sinal do produto qQ determina se a força é repulsiva qQ>0 ou atrativa qQ<0.
Passo 3
O trabalho realizado pela força elétrica ao deslocar q radialmente de r_{1} até r_{2} é
Vê-se que W depende apenas de r_{1} e r_{2}, não do caminho.
Passo 4
O fato de o trabalho depender só das posições inicial e final implica que, se a carga q fizer um percurso fechado r_{1}=r_{2}, o trabalho total é zero. Essa propriedade — trabalho de uma força sobre um ciclo fechado igual a zero e independência de caminho — caracteriza um campo como conservativo. No caso, define-se ainda uma função potencial