Demonstre a partir das equações de movimento para o lançamento oblíquo que a equação da trajetória pode ser descrita como
y=\operatorname{tg}(\theta) \cdot x-\frac{g \cdot x^{2}}{2 \cdot v_{0}{ }^{2} \cdot \cos ^{2}(\theta)}.

Passo 1

O enunciado nos dá um lançamento oblíquo com velocidade inicial v_0 e ângulo \theta em um campo gravitacional uniforme (aceleração \vec g = -g\,\hat y). Queremos obter a trajetória y em função de x. Para isso, vamos usar as equações paramétricas do movimento horizontal (uniforme) e vertical (uniformemente acelerado).

Passo 2

No eixo x (movimento uniforme) temos
x(t) = v_0 \cos(\theta)\,t
e no eixo y (movimento uniformemente acelerado) temos
y(t) = v_0 \sin(\theta)\,t \;-\;\frac12\,g\,t^2.

Passo 3

Isolamos o tempo t da equação de x(t):
t \;=\;\frac{x}{v_0 \cos(\theta)}.

Passo 4

Substituímos esse valor de t em y(t):
y(x) = v_0 \sin(\theta)\,\frac{x}{v_0 \cos(\theta)} \;-\;\frac12\,g\, \Bigl(\frac{x}{v_0 \cos(\theta)}\Bigr)^{2}.
O primeiro termo fica x\tan(\theta) e o segundo fica \dfrac{g\,x^2}{2\,v_0^2\,\cos^2(\theta)}. Assim,
y(x) = x\,\tan(\theta) \;-\; \frac{g\,x^2}{2\,v_0^2\,\cos^2(\theta)}.

Resposta

y = \tan(\theta)\,x \;-\;\frac{g\,x^2}{2\,v_0^2\,\cos^2(\theta)}.

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