A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x=0,75 t+ 3,50 t^{2}, em que x está em centímetros e t em segundos. Calcule:
a) a velocidade média durante o intervalo de tempo de t=2,00 \mathrm{~s} a t=5,00 \mathrm{~s};
b) a velocidade instantânea em t=2,00 \mathrm{~s};
c) a velocidade instantânea emt =5,00 \mathrm{~s};
d) Plote o gráfico de x(t) e v(t) em função de t.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula ao longo do eixo x como
x(t) = 0,75\,t + 3,50\,t^{2}
com x em centímetros e t em segundos. Pede-se
– a velocidade média no intervalo de t=2{,}00\\ \mathrm{s} a t=5{,}00\\ \mathrm{s},
– a velocidade instantânea em t=2{,}00\\ \mathrm{s},
– a velocidade instantânea em t=5{,}00\\ \mathrm{s},
– e os gráficos de x(t) e de v(t).
Vamos usar cálculo de variação média para (a) e derivada para (b), (c) e (d).

Passo 2

Para a velocidade média em [2,00;\,5,00] usamos
v_{\text{med}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(5{,}00)-x(2{,}00)}{5{,}00-2{,}00}.
Calculando
x(5{,}00)=0,75\cdot5{,}00 + 3,50\cdot(5{,}00)^{2} =3{,}75 + 3,50\cdot25 =3{,}75 +87{,}50 =91{,}25\\ \mathrm{cm},
x(2{,}00)=0,75\cdot2{,}00 + 3,50\cdot(2{,}00)^{2} =1{,}50 + 3,50\cdot4 =1{,}50 +14{,}00 =15{,}50\\ \mathrm{cm}.
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v_{\text{med}} = \frac{91{,}25 - 15{,}50}{3{,}00} = \frac{75{,}75}{3{,}00} =25{,}25\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 3

A velocidade instantânea é a derivada de x(t):
v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(0,75\,t + 3,50\,t^{2}\bigr) =0,75 + 7,00\,t.
Em t=2{,}00\\ \mathrm{s}:
v(2{,}00)=0,75 + 7{,}00\cdot2{,}00 =0,75 +14{,}00 =14{,}75\\ \mathrm{cm/s}.
Em t=5{,}00\\ \mathrm{s}:
v(5{,}00)=0,75 + 7{,}00\cdot5{,}00 =0,75 +35{,}00 =35{,}75\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 4

Para esboçar os gráficos:
x(t)=0,75\,t+3,50\,t^{2} é uma parábola que passa pela origem e cresce cada vez mais rápido.
v(t)=0,75+7,00\,t é uma reta com intercepto v(0)=0,75\\ \mathrm{cm/s} e inclinação 7{,}00\\ \mathrm{cm/s^{2}}.
Num sistema t- x, desenhe uma curva parabólica; num sistema t- v, desenhe uma linha reta ascendente.

Resposta

a) 25{,}25\\ \mathrm{cm/s}
b) 14{,}75\\ \mathrm{cm/s}
c) 35{,}75\\ \mathrm{cm/s}
d) x(t)=0,75\,t+3,50\,t^{2} é parábola; v(t)=0,75+7,00\,t é reta ascendente.

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