(Campo e Energia) Uma partícula de carga q se move no campo de outra carga fixa Q.
(a) Calcule o trabalho necessário para trazer q do infinito até uma distância r de Q.
(b) A partir desse trabalho, defina a energia potencial eletrostática.
(c) Introduza o conceito de potencial elétrico V(r) como energia por unidade de carga.

Passo 1

O enunciado trata do trabalho necessário para trazer uma carga \,q\ do infinito até uma distância \,r\ de outra carga fixa \,Q. O conteúdo envolve a força de Coulomb e o conceito de trabalho de uma força variável, para então definir energia potencial eletrostática e potencial elétrico.

Passo 2

A força eletrostática entre as cargas é
\vec F(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q\,q}{r^{2}}\;\hat e_{r}\,.
Para levar \,q\ do infinito até \,r, o trabalho realizado por uma força externa equilibrante (isto é, contra o campo) é
W_{\text{ext}} =-\int_{\infty}^{r}\vec F(r')\cdot d\vec r' =-\int_{\infty}^{r}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,q}{r'^{2}}\,dr' =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,q}{r}\,.

Passo 3

Definimos a energia potencial eletrostática \,U(r)\ como o trabalho gasto para levar a carga de \infty\ até \,r, tomando U(\infty)=0. Assim
U(r)=W_{\text{ext}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q\,q}{r}\,.

Passo 4

O potencial elétrico \,V(r)\ é a energia potencial por unidade de carga de prova, ou seja
V(r)=\frac{U(r)}{q} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{r}\,.

Resposta

(a) W_{\text{ext}}=\displaystyle\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q\,q}{r}.
(b) U(r)=\displaystyle\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q\,q}{r}.
(c) V(r)=\displaystyle\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{r}.

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