A aceleração de uma partícula é \vec{a}=\left(a_{x}, a_{y}, a_{z}\right). Se em t=0, \vec{r}=\vec{r}_{0} e \vec{v}=\vec{v}_{0}, determine:
(a) Velocidade em função do tempo;
(b) Posição em função do tempo.
Resposta: (a) \vec{v}(t)=\vec{v}_{0}+\vec{a} t;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A aceleração da partícula é o vetor \vec{a}=\left(a_{x},a_{y},a_{z}\right).
  • No instante t=0 valem as condições iniciais \vec{r}(0)=\vec{r}_{0} e \vec{v}(0)=\vec{v}_{0}.
O enunciado pede:
(a) a velocidade \vec{v}(t) em função do tempo;
(b) a posição \vec{r}(t) em função do tempo.
Observação implícita (usada nas contas a seguir): trata-se de aceleração constante no tempo, ou seja \vec{a} não depende de t. As fórmulas pedidas serão obtidas a partir das relações entre posição, velocidade e aceleração.

Passo 2

Relação fundamental entre aceleração e velocidade: a aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em linguagem matemática:
\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}.
Isto significa que, para cada componente,
a_{x}=\frac{dv_{x}}{dt},\qquad a_{y}=\frac{dv_{y}}{dt},\qquad a_{z}=\frac{dv_{z}}{dt}.
Para obter \vec{v}(t) integra-se a relação acima no tempo, usando uma variável de integração t' e levando em conta a condição inicial \vec{v}(0)=\vec{v}_{0}:
\int_{0}^{t}\! \frac{d\vec{v}}{dt'}\,dt'=\int_{0}^{t}\! \vec{a}\,dt'.
No lado esquerdo a integral de \dfrac{d\vec{v}}{dt'} de 0 a t \vec{v}(t)-\vec{v}(0). No lado direito, como \vec{a} é constante, a integral é simplesmente \vec{a} vezes o intervalo de tempo t. Assim:
\vec{v}(t)-\vec{v}_{0}=\vec{a}\,t.
Portanto:
\vec{v}(t)=\vec{v}_{0}+\vec{a}\,t.
Explicando cada termo: \vec{v}_{0} é a velocidade inicial (vetor) em t=0; \vec{a}\,t é a contribuição da aceleração constante após tempo t. Em componentes:
v_{x}(t)=v_{0x}+a_{x}t,\qquad v_{y}(t)=v_{0y}+a_{y}t,\qquad v_{z}(t)=v_{0z}+a_{z}t.

Passo 3

Relação entre velocidade e posição: a velocidade é a derivada temporal da posição:
\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}.
Usando a expressão que acabamos de obter para \vec{v}(t), integra-se novamente de 0 a t para obter \vec{r}(t), aplicando a condição inicial \vec{r}(0)=\vec{r}_{0}:
\int_{0}^{t}\! \frac{d\vec{r}}{dt'}\,dt'=\int_{0}^{t}\!\bigl(\vec{v}_{0}+\vec{a}\,t'\bigr)\,dt'.
No lado esquerdo a integral dá \vec{r}(t)-\vec{r}_{0}. No lado direito, a integral separa-se em duas:
\int_{0}^{t}\!\vec{v}_{0}\,dt'=\vec{v}_{0}\,t, \qquad \int_{0}^{t}\!\vec{a}\,t'\,dt'=\vec{a}\int_{0}^{t}\!t'\,dt'=\vec{a}\,\frac{t^{2}}{2}.
Somando as partes:
\vec{r}(t)-\vec{r}_{0}=\vec{v}_{0}\,t+\frac{1}{2}\vec{a}\,t^{2}.
Portanto:
\vec{r}(t)=\vec{r}_{0}+\vec{v}_{0}\,t+\frac{1}{2}\vec{a}\,t^{2}.
Em componentes:
x(t)=x_{0}+v_{0x}\,t+\frac{1}{2}a_{x}\,t^{2},\qquad y(t)=y_{0}+v_{0y}\,t+\frac{1}{2}a_{y}\,t^{2},\qquad z(t)=z_{0}+v_{0z}\,t+\frac{1}{2}a_{z}\,t^{2}.

Passo 4

Verificação rápida (auto-checagem): derivando \vec{r}(t) obtemos
\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}_{0}+\vec{a}\,t=\vec{v}(t),
e derivando \vec{v}(t) obtemos
\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{a},
ou seja, as relações são consistentes com as definições iniciais. Isso também mostra como aplicar essas fórmulas na prova: integrar sucessivamente a partir da definição de derivada, aplicando as condições iniciais para fixar as constantes de integração.

Passo 5

Comentário final e incentivo: essas fórmulas são fundamentais e muito usadas em mecânica. Pratique escrevendo-as componentes e fazendo a checagem por diferenciação — isso ajuda a decorar e a ganhar confiança. Vai dar certo, respira, e resolve alguns exemplos numéricos só para fixar!

Resposta

(a) \vec{v}(t)=\vec{v}_{0}+\vec{a}\,t
(b) \vec{r}(t)=\vec{r}_{0}+\vec{v}_{0}\,t+\dfrac{1}{2}\vec{a}\,t^{2}

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