A aceleração de uma partícula é
. Se em
e
, determine:
(a) Velocidade em função do tempo;
(b) Posição em função do tempo.
Resposta: (a)
;
(a) Velocidade em função do tempo;
(b) Posição em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A aceleração da partícula é o vetor
. - No instante
valem as condições iniciais e .
O enunciado pede:
(a) a velocidade em função do tempo;
(b) a posição em função do tempo.
(a) a velocidade
(b) a posição
Observação implícita (usada nas contas a seguir): trata-se de aceleração constante no tempo, ou seja
não depende de
. As fórmulas pedidas serão obtidas a partir das relações entre posição, velocidade e aceleração.
Passo 2
Relação fundamental entre aceleração e velocidade: a aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em linguagem matemática:
Isto significa que, para cada componente,
Para obter
integra-se a relação acima no tempo, usando uma variável de integração
e levando em conta a condição inicial
:
No lado esquerdo a integral de
de
a
dá
. No lado direito, como
é constante, a integral é simplesmente
vezes o intervalo de tempo
. Assim:
Portanto:
Explicando cada termo:
é a velocidade inicial (vetor) em
;
é a contribuição da aceleração constante após tempo
. Em componentes:
Passo 3
Relação entre velocidade e posição: a velocidade é a derivada temporal da posição:
Usando a expressão que acabamos de obter para
, integra-se novamente de
a
para obter
, aplicando a condição inicial
:
No lado esquerdo a integral dá
. No lado direito, a integral separa-se em duas:
Somando as partes:
Portanto:
Em componentes:
Passo 4
Verificação rápida (auto-checagem): derivando
obtemos
e derivando
obtemos
ou seja, as relações são consistentes com as definições iniciais. Isso também mostra como aplicar essas fórmulas na prova: integrar sucessivamente a partir da definição de derivada, aplicando as condições iniciais para fixar as constantes de integração.
Passo 5
Comentário final e incentivo: essas fórmulas são fundamentais e muito usadas em mecânica. Pratique escrevendo-as componentes e fazendo a checagem por diferenciação — isso ajuda a decorar e a ganhar confiança. Vai dar certo, respira, e resolve alguns exemplos numéricos só para fixar!
Resposta
(a)
(b)