Dois móveis deslocam-se no mesmo sentido com velocidades v_{A} e v_{B}\left(v_{B}>v_{A}\right). Estão inicialmente separados por distância D. Determine o tempo para B alcançar A .

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede (assumindo o caso padrão). Dados do enunciado:
  • Dois móveis deslocam-se no mesmo sentido com velocidades \,v_{A}\, e \,v_{B}\,, com \,v_{B}>v_{A}\,.
  • A separação inicial entre eles é \,D\,.
O enunciado pede:
  • Determinar o tempo para que o móvel B alcance o móvel A.
Observação (assunção necessária): para que a pergunta faça sentido e B venha a alcançar A, assumimos que inicialmente B está atrás de A na mesma reta de movimento, à distância \,D\,. Se B estivesse à frente de A então, mesmo com \,v_{B}>v_{A}\,, não haveria “alcance” no sentido de reduzir a distância de D até zero.

Passo 2

Escolher um referencial e definir posições iniciais (isso facilita escrever as equações). Vou colocar o eixo x no sentido do movimento e escolher:
  • posição inicial de A: \,x_{A}(0)=0\, (ponto de referência),
  • posição inicial de B: \,x_{B}(0)=-D\, (isto é, B está à distância D atrás de A).
Explicação rápida do que isso significa: tomar x_{A}(0)=0 é apenas uma conveniência matemática — deslocamentos absolutos não importam, apenas diferenças. Colocar x_{B}(0)=-D representa a separação inicial de comprimento D.

Passo 3

Escrever as posições em função do tempo para movimentos retilíneos e com velocidade constante. Para um móvel com velocidade constante a posição no tempo t é dada por
x(t)=x(0)+v\,t,
onde \,x(0)\, é a posição inicial e \,v\, é a velocidade (medida no mesmo sistema de unidades do tempo e do comprimento).
Aplicando isso aos dois móveis:
x_{A}(t)=x_{A}(0)+v_{A}\,t = 0 + v_{A}\,t = v_{A}\,t,
x_{B}(t)=x_{B}(0)+v_{B}\,t = -D + v_{B}\,t.
Aqui cada símbolo significa:
  • \,x_{A}(t)\,: posição de A no instante t,
  • \,x_{B}(t)\,: posição de B no instante t,
  • \,v_{A},v_{B}\,: velocidades constantes dos móveis,
  • \,D\,: separação inicial (comprimento, mesma unidade que as posições),
  • \,t\,: tempo decorrido (mesma unidade usada para as velocidades).

Passo 4

Escrever a condição matemática de “alcance”: B alcança A no instante em que suas posições coincidem, ou seja,
x_{A}(t)=x_{B}(t).
Substituindo as expressões do passo anterior:
v_{A}\,t = -D + v_{B}\,t.

Passo 5

Resolver a equação para isolar os termos em t. Passo a passo:
v_{A}\,t = -D + v_{B}\,t
subtrair v_{A}\,t de ambos os lados:
0 = -D + v_{B}\,t - v_{A}\,t
fatorar t no termo do lado direito:
0 = -D + (v_{B}-v_{A})\,t
passar -D para o outro lado:
(v_{B}-v_{A})\,t = D.
Neste ponto temos a equação que relaciona o tempo t com a separação inicial D e a diferença de velocidades (v_{B}-v_{A}).

Passo 6

Interpretação física (ideia da velocidade relativa) e verificação de sinais/unidades. A quantidade (v_{B}-v_{A}) é a velocidade relativa de B em relação a A: é a rapidez com que a distância entre B e A diminui. Como foi dado que \,v_{B}>v_{A}\,, então (v_{B}-v_{A})>0 e o tempo obtido será positivo — faz sentido físico.
Quanto às unidades: se D está em metros e v em metros por segundo, então t sai em segundos, porque \,\text{[tempo]}=\dfrac{\text{[comprimento]}}{\text{[comprimento]/[tempo]}}\,.

Passo 7

Conclusão lógica do processo de resolução: a distância inicial \,D\, é “coberta” pela velocidade relativa (v_{B}-v_{A}). Logo o tempo necessário para zerar a separação satisfaz a equação do passo 5.

Resposta

t=\dfrac{D}{v_{B}-v_{A}}

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