Uma partícula executa MCU com raio R e frequência f. Determine:
(a) Velocidade angular;
(b) Velocidade escalar.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula que se move em movimento circular uniforme (MCU) com raio R e frequência f. Pede:
  • (a) a velocidade angular;
  • (b) a velocidade escalar (ou velocidade tangencial).
Informações relevantes dadas:
  • R = raio da trajetória (unidade: metros, por exemplo).
  • f = frequência do movimento (unidade: hertz, \text{Hz}=\text{rev/s}).

Passo 2

Entender o que é frequência e período. A frequência f é o número de voltas completas por segundo. O período T é o tempo que a partícula leva para dar uma volta completa. A relação entre eles é
T=\frac{1}{f}.
Aqui:
  • f tem unidade \text{Hz}=\text{rev/s}.
  • T tem unidade \text{s}.

Passo 3

Definir velocidade angular. A velocidade angular \omega mede a rapidez com que o ângulo \theta varia no tempo, isto é
\omega=\frac{d\theta}{dt},
com unidade rad/s. Num movimento circular, uma volta completa corresponde a um deslocamento angular de 2\pi rad. Em uma volta o tempo gasto é T. Portanto, usando \Delta\theta=2\pi e \Delta t=T,
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Substituindo T=\dfrac{1}{f} obtém-se a forma em função de f:
\omega=2\pi f.
Aqui:
  • \omega é a velocidade angular (rad/s),
  • f é a frequência (rev/s).

Passo 4

Explicar a relação entre velocidade angular e velocidade escalar (tangencial). O comprimento do arco percorrido quando o objeto gira um ângulo \theta é
s=R\theta,
onde s é o deslocamento ao longo da circunferência e R é o raio. Diferenciando em relação ao tempo:
v=\frac{ds}{dt}=R\frac{d\theta}{dt}=R\omega,
onde v é a velocidade escalar (tangencial) com unidade m/s. Substituindo \omega=2\pi f vem
v=R\omega=R(2\pi f)=2\pi f R.
Aqui:
  • v é a velocidade escalar (m/s),
  • R é o raio (m),
  • f é a frequência (Hz).

Passo 5

Interpretação e checagem rápida de unidades e senso físico. Se f aumenta, a partícula completa mais voltas por segundo, então tanto \omega quanto v aumentam proporcionalmente a f. As unidades conferem:
\omega\\ [\text{rad/s}]=2\pi\,[\text{rad/rev}]\cdot f\,[\text{rev/s}], \qquad v\\ [\text{m/s}]=2\pi f\,[\text{rev/s}]\cdot R\,[\text{m}].
Exemplo numérico rápido para intuição: se f=1\,\text{Hz} e R=1\,\text{m}, então \omega=2\pi\\ \text{rad/s} e v=2\pi\\ \text{m/s}.

Resposta

(a) \omega=2\pi f
(b) v=2\pi f R

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