A aceleração de um ponto material é dada por a(t)=k \cdot t^{3}. Sabendo-se que v(t=0 s) =-25,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \mathrm{v}(\mathrm{t}=5,0 \mathrm{~s})=50,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine a constante k . (b) Escreva a equação da posição no tempo, sabendo que x(t=2,0 \mathrm{~s})=5,0 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado dá a aceleração de um ponto material como
a(t)=k\,t^3
e pede em (a) determinar a constante k sabendo que \,v(0)=-25{,}0\\ \mathrm{m/s} e \,v(5)=50{,}0\\ \mathrm{m/s},
e em (b) encontrar a lei horária x(t) sabendo que x(2)=5{,}0\\ \mathrm{m}.
O conteúdo aqui é cinemática unidimensional com aceleração variável e envolve integração sucessiva para obter velocidade e posição.

Passo 2

Integramos a(t) para obter v(t):
v(t)=\int a(t)\,\mathrm{d}t=\int k\,t^3\,\mathrm{d}t=\frac{k\,t^4}{4}+C.
Usando v(0)=-25{,}0, obtemos
v(0)=\frac{k\cdot0^4}{4}+C=-25{,}0\quad\Longrightarrow\quad C=-25{,}0.
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v(t)=\frac{k\,t^4}{4}-25.

Passo 3

Aplicamos a condição v(5)=50{,}0:
v(5)=\frac{k\cdot5^4}{4}-25=50 \quad\Longrightarrow\quad \frac{625\,k}{4}=75 \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{75\cdot4}{625}=0{,}48.

Passo 4

Agora integramos v(t) para obter x(t):
x(t)=\int v(t)\,\mathrm{d}t =\int\Bigl(\frac{k\,t^4}{4}-25\Bigr)\mathrm{d}t =\frac{k\,t^5}{20}-25\,t+C'.
Usando x(2)=5{,}0, com k=0{,}48:
x(2)=\frac{0{,}48\cdot2^5}{20}-25\cdot2+C' =\frac{0{,}48\cdot32}{20}-50+C' =0{,}768-50+C'=5
\Longrightarrow\quad C'=5+50-0{,}768=54{,}232.

Passo 5

Substituindo k e C' no resultado, a lei horária fica
x(t)=\frac{0{,}48\,t^5}{20}-25\,t+54{,}232 =0{,}024\,t^5-25\,t+54{,}232.

Resposta

(a) k=0{,}48\\ \mathrm{m/s^5}.
(b) x(t)=0{,}024\,t^5-25\,t+54{,}232\\ \mathrm{m}.

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