Um contaminante desloca-se ao longo de um rio com velocidade dada por:
. Sabendo que no instante
a posição
,
a) determine a função horária da posição;
b) calcule o deslocamento entre
e
;
c) determine a velocidade média no intervalo.
a) determine a função horária da posição;
b) calcule o deslocamento entre
c) determine a velocidade média no intervalo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a velocidade do contaminante em função do tempo é
em . - Condição inicial: em
a posição é . - O enunciado pede:
a) determinar a função horária da posição;
b) calcular o deslocamento entres e s;
c) determinar a velocidade média no intervalo.
Passo 2
Relação entre posição e velocidade e estratégia para a solução.
- Em movimento unidimensional, velocidade é a derivada da posição:
. - Para obter
basta integrar e usar a condição inicial para achar a constante de integração. - Regra básica de integração (regra do polinômio / regra da potência): para
(para ). Vou aplicar isso termo a termo em .
Passo 3
Integração de
termo a termo para obter uma primitiva
tal que
.
Calcular
Aplico a regra da potência a cada termo:
Somando e incluindo a constante de integração
:
Passo 4
Usar a condição inicial
para determinar a constante
.
- Em
temos . - Como
, segue que .
Portanto a função posição é
Passo 5
Calcular o deslocamento entre
e
.
- Deslocamento
entre e é , que é igual a . - Para facilitar, posso usar a primitiva sem a constante
e calcular .
Calcular
:
Calcular
:
Logo o deslocamento é
Como valor aproximado,
.
Passo 6
Determinar a velocidade média no intervalo
.
- Definição prática: velocidade média no intervalo
é razão entre deslocamento e duração do intervalo:
- Aqui
e . Portanto
Valor aproximado:
.
Resposta
a)
b)
c)