Um contaminante desloca-se ao longo de um rio com velocidade dada por: v(t)=2 t^{2}-8 t+6 \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}. Sabendo que no instante t=0 a posição x=10 \mathrm{~m},
a) determine a função horária da posição;
b) calcule o deslocamento entre \mathrm{t}=1 e \mathrm{t}=5 \mathrm{~s};
c) determine a velocidade média no intervalo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a velocidade do contaminante em função do tempo é v(t)=2 t^{2}-8 t+6 em \mathrm{m/s}.
  • Condição inicial: em t=0 a posição é x=10\\ \mathrm{m}.
  • O enunciado pede:
    a) determinar a função horária da posição x(t);
    b) calcular o deslocamento entre t=1 s e t=5 s;
    c) determinar a velocidade média no intervalo [1,5].

Passo 2

Relação entre posição e velocidade e estratégia para a solução.
  • Em movimento unidimensional, velocidade é a derivada da posição: v(t)=x'(t).
  • Para obter x(t) basta integrar v(t) e usar a condição inicial para achar a constante de integração.
  • Regra básica de integração (regra do polinômio / regra da potência): para \int t^{n}\,dt = \dfrac{t^{n+1}}{n+1} + C (para n\neq -1). Vou aplicar isso termo a termo em v(t).

Passo 3

Integração de v(t) termo a termo para obter uma primitiva X(t) tal que X'(t)=v(t).
Calcular
\int v(t)\,dt = \int (2t^{2}-8t+6)\,dt.
Aplico a regra da potência a cada termo:
\int 2t^{2}\,dt = 2\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{2}{3}t^{3},
\int (-8t)\,dt = -8\cdot\frac{t^{2}}{2}=-4t^{2},
\int 6\,dt = 6t.
Somando e incluindo a constante de integração C:
X(t)=\frac{2}{3}t^{3}-4t^{2}+6t+C.

Passo 4

Usar a condição inicial x(0)=10 para determinar a constante C.
  • Em t=0 temos X(0)=\frac{2}{3}\cdot 0^{3}-4\cdot0^{2}+6\cdot0+C=C.
  • Como x(0)=10, segue que C=10.
Portanto a função posição é
x(t)=\frac{2}{3}t^{3}-4t^{2}+6t+10.

Passo 5

Calcular o deslocamento entre t=1 e t=5.
  • Deslocamento \Delta x entre t=a e t=b é x(b)-x(a), que é igual a \displaystyle\int_{a}^{b} v(t)\,dt.
  • Para facilitar, posso usar a primitiva sem a constante A(t)=\dfrac{2}{3}t^{3}-4t^{2}+6t e calcular A(5)-A(1).
Calcular A(5):
A(5)=\frac{2}{3}\cdot 5^{3}-4\cdot5^{2}+6\cdot5=\frac{2}{3}\cdot125-4\cdot25+30=\frac{250}{3}-100+30=\frac{250}{3}-70=\frac{40}{3}.
Calcular A(1):
A(1)=\frac{2}{3}\cdot1^{3}-4\cdot1^{2}+6\cdot1=\frac{2}{3}-4+6=\frac{2}{3}+2=\frac{8}{3}.
Logo o deslocamento é
\Delta x = A(5)-A(1)=\frac{40}{3}-\frac{8}{3}=\frac{32}{3}\\ \mathrm{m}.
Como valor aproximado, \dfrac{32}{3}\approx 10{,}6667\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Determinar a velocidade média no intervalo [1,5].
  • Definição prática: velocidade média no intervalo [a,b] é razão entre deslocamento e duração do intervalo:
\bar{v}=\frac{\Delta x}{b-a}.
  • Aqui \Delta x=\dfrac{32}{3}\\ \mathrm{m} e b-a=5-1=4\\ \mathrm{s}. Portanto
\bar{v}=\frac{\tfrac{32}{3}}{4}=\frac{32}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{8}{3}\\ \mathrm{m/s}.
Valor aproximado: \dfrac{8}{3}\approx 2{,}6667\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

a) x(t)=\dfrac{2}{3}t^{3}-4t^{2}+6t+10\\ \mathrm{m}
b) \Delta x=\dfrac{32}{3}\\ \mathrm{m}\\ \approx 10{,}6667\\ \mathrm{m}
c) \bar{v}=\dfrac{8}{3}\\ \mathrm{m/s}\\ \approx 2{,}6667\\ \mathrm{m/s}

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