A posição de uma partícula em uma tubulação industrial é dada por:
com
em metros e
em segundos.
Determine:
a) a velocidade instantânea em função do tempo;
b) a aceleração instantânea;
c) os instantes em que a velocidade é nula;
d) a posição da partícula nesses instantes;
e) em quais intervalos o movimento é progressivo e retrógrado (justifique)
a) a velocidade instantânea em função do tempo;
b) a aceleração instantânea;
c) os instantes em que a velocidade é nula;
d) a posição da partícula nesses instantes;
e) em quais intervalos o movimento é progressivo e retrógrado (justifique)
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
com
em metros e
em segundos. As perguntas são:
a) Determinar a velocidade instantânea em função de .
b) Determinar a aceleração instantânea em função de .
c) Encontrar os instantes em que a velocidade é nula.
d) Calcular a posição da partícula nesses instantes.
e) Indicar em quais intervalos o movimento é progressivo ( ) e retrógrado (
), com justificativa.
a) Determinar a velocidade instantânea em função de
b) Determinar a aceleração instantânea em função de
c) Encontrar os instantes em que a velocidade é nula.
d) Calcular a posição da partícula nesses instantes.
e) Indicar em quais intervalos o movimento é progressivo (
Passo 2
Vamos lembrar o que significa derivar e qual regra básica usaremos (a parte “teórica mastigada” para a prova). A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo; a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou a segunda derivada da posição). A regra principal que usamos aqui é a regra do poder (power rule):
Se
então
Além disso, a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivada da função. Em símbolos, para constantes
e
,
Aplicando isso a polinômios (somente potências de
e constantes) torna-se direto: derive termo a termo.
Passo 3
Calcular a velocidade
derivando termo a termo a posição dada. Usando a regra do poder:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
(constante) é .
Portanto, em forma final:
Passo 4
Comentário físico e sobre unidades:
tem unidades de metros por segundo (
). Em provas, é bom sempre escrever a expressão simplificada (como fizemos) e lembrar que é a derivada da posição.
Passo 5
Calcular a aceleração
. Derivando a expressão de
termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo:
A unidade de
é metros por segundo ao quadrado (
).
Passo 6
Explicação do que significa a aceleração encontrada:
é uma função linear do tempo. Se
a velocidade está aumentando; se
a velocidade está diminuindo. Mas atenção: sinal da aceleração não determina sozinho se o movimento é progressivo ou retrógrado — isso depende do sinal da velocidade
.
Passo 7
Encontrar instantes em que a velocidade é nula resolvendo
. Temos
Podemos simplificar dividindo por
:
Essa quadrática fatoriza facilmente:
Logo os zeros são:
Ambos são instantes válidos (assume-se
para tempo).
Passo 8
Calcular a posição nos instantes
e
substituindo em
.
Para
:
Fazendo as contas:
Portanto
Para
:
Calcule passo a passo:
Portanto
Passo 9
Determinar intervalos de movimento progressivo (
) e retrógrado (
). Usamos a forma fatorada de
para analisar o sinal:
Como a constante
, o sinal de
é dado por
.
Analise dos intervalos em relação às raízes
e
:
- Para
(por exemplo ): e , produto positivo . - Para
(por exemplo ): e , produto negativo . - Para
(por exemplo ): e , produto positivo .
Considerando o tempo não-negativo (
), concluímos:
- Movimento progressivo (velocidade positiva):
e . - Movimento retrógrado (velocidade negativa):
. - Em
e a velocidade é zero (instantes de inversão de sentido/ paradas instantâneas).
Passo 10
Dicas rápidas para a prova (rápido e prático): derive termo a termo usando a regra do poder; sempre tente fatorar
quando possível para achar raízes e fazer análise de sinais; para polinômios de grau 2 é frequente poder fatorar em (t−t1)(t−t2) — isso facilita muito o teste de sinais. Força aí, você tá no caminho certo — com esses passos dá pra responder direitinho na prova!
Resposta
a)
b)
c) e
d) e
e) Movimento progressivo para e para
; movimento retrógrado para
.
b)
c)
d)
e) Movimento progressivo para