A posição de uma partícula em uma tubulação industrial é dada por: x(t)=4 t^{3}-18 t^{2}+24 t+5 com x em metros e t em segundos.
Determine:
a) a velocidade instantânea em função do tempo;
b) a aceleração instantânea;
c) os instantes em que a velocidade é nula;
d) a posição da partícula nesses instantes;
e) em quais intervalos o movimento é progressivo e retrógrado (justifique)

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
x(t)=4\,t^{3}-18\,t^{2}+24\,t+5,
com x em metros e t em segundos. As perguntas são:
a) Determinar a velocidade instantânea em função de t.
b) Determinar a aceleração instantânea em função de t.
c) Encontrar os instantes em que a velocidade é nula.
d) Calcular a posição da partícula nesses instantes.
e) Indicar em quais intervalos o movimento é progressivo ( v>0) e retrógrado ( v<0), com justificativa.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa derivar e qual regra básica usaremos (a parte “teórica mastigada” para a prova). A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo; a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou a segunda derivada da posição). A regra principal que usamos aqui é a regra do poder (power rule):
Se \,f(t)=t^{n}\, então
\frac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}.
Além disso, a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivada da função. Em símbolos, para constantes a e b,
\frac{d}{dt}\big(a\,f(t)+b\,g(t)\big)=a\,f'(t)+b\,g'(t).
Aplicando isso a polinômios (somente potências de t e constantes) torna-se direto: derive termo a termo.

Passo 3

Calcular a velocidade \,v(t)=\dfrac{dx}{dt}\, derivando termo a termo a posição dada. Usando a regra do poder:
  • Derivada de 4\,t^{3} é 4\cdot 3\,t^{2}=12\,t^{2}.
  • Derivada de -18\,t^{2} é -18\cdot 2\,t=-36\,t.
  • Derivada de 24\,t é 24.
  • Derivada de 5 (constante) é 0.
Portanto, em forma final:
v(t)=12\,t^{2}-36\,t+24.

Passo 4

Comentário físico e sobre unidades: \,v(t) tem unidades de metros por segundo ( \text{m/s}). Em provas, é bom sempre escrever a expressão simplificada (como fizemos) e lembrar que é a derivada da posição.

Passo 5

Calcular a aceleração \,a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}\,. Derivando a expressão de v(t) termo a termo:
  • Derivada de 12\,t^{2} é 12\cdot 2\,t=24\,t.
  • Derivada de -36\,t é -36.
  • Derivada de 24 é 0.
Logo:
a(t)=24\,t-36.
A unidade de a(t) é metros por segundo ao quadrado ( \text{m/s}^{2}).

Passo 6

Explicação do que significa a aceleração encontrada: a(t)=24\,t-36 é uma função linear do tempo. Se a(t)>0 a velocidade está aumentando; se a(t)<0 a velocidade está diminuindo. Mas atenção: sinal da aceleração não determina sozinho se o movimento é progressivo ou retrógrado — isso depende do sinal da velocidade v(t).

Passo 7

Encontrar instantes em que a velocidade é nula resolvendo \,v(t)=0. Temos
12\,t^{2}-36\,t+24=0.
Podemos simplificar dividindo por 12:
t^{2}-3\,t+2=0.
Essa quadrática fatoriza facilmente:
t^{2}-3t+2=(t-1)(t-2).
Logo os zeros são:
t=1\quad\text{e}\quad t=2\\ \text{(segundos)}.
Ambos são instantes válidos (assume-se t\ge 0 para tempo).

Passo 8

Calcular a posição nos instantes t=1 e t=2 substituindo em x(t).
Para t=1:
x(1)=4\cdot 1^{3}-18\cdot 1^{2}+24\cdot 1+5=4-18+24+5.
Fazendo as contas:
4-18=-14,\quad -14+24=10,\quad 10+5=15.
Portanto x(1)=15\\ \text{m}.
Para t=2:
x(2)=4\cdot 2^{3}-18\cdot 2^{2}+24\cdot 2+5=4\cdot 8-18\cdot 4+48+5.
Calcule passo a passo:
4\cdot 8=32,\quad 18\cdot 4=72,\quad 32-72=-40,\quad -40+48=8,\quad 8+5=13.
Portanto x(2)=13\\ \text{m}.

Passo 9

Determinar intervalos de movimento progressivo ( v>0) e retrógrado ( v<0). Usamos a forma fatorada de v(t) para analisar o sinal:
v(t)=12\big(t^{2}-3t+2\big)=12(t-1)(t-2).
Como a constante 12>0, o sinal de v(t) é dado por (t-1)(t-2).
Analise dos intervalos em relação às raízes t=1 e t=2:
  • Para t<1 (por exemplo t=0): (t-1)<0 e (t-2)<0, produto positivo \Rightarrow v(t)>0.
  • Para 1<t<2 (por exemplo t=1{,}5): (t-1)>0 e (t-2)<0, produto negativo \Rightarrow v(t)<0.
  • Para t>2 (por exemplo t=3): (t-1)>0 e (t-2)>0, produto positivo \Rightarrow v(t)>0.
Considerando o tempo não-negativo ( t\ge 0), concluímos:
  • Movimento progressivo (velocidade positiva): \,0\le t<1 e t>2.
  • Movimento retrógrado (velocidade negativa): 1<t<2.
  • Em t=1 e t=2 a velocidade é zero (instantes de inversão de sentido/ paradas instantâneas).

Passo 10

Dicas rápidas para a prova (rápido e prático): derive termo a termo usando a regra do poder; sempre tente fatorar v(t) quando possível para achar raízes e fazer análise de sinais; para polinômios de grau 2 é frequente poder fatorar em (t−t1)(t−t2) — isso facilita muito o teste de sinais. Força aí, você tá no caminho certo — com esses passos dá pra responder direitinho na prova!

Resposta

a) v(t)=12\,t^{2}-36\,t+24.
b) a(t)=24\,t-36.
c) t=1\\ \text{s} e t=2\\ \text{s}.
d) x(1)=15\\ \text{m} e x(2)=13\\ \text{m}.
e) Movimento progressivo para 0\le t<1 e para t>2; movimento retrógrado para 1<t<2.

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