No acelerador linear de Stanford, os elétrons são acelerados até uma energia cinética de 20 GeV , ao longo dos 3 km do acelerador. Qual o comprimento do acelerador no referencial destes elétrons?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos elétrons sendo acelerados até uma energia cinética de 20 GeV em um acelerador linear que mede 3 km de comprimento. Queremos descobrir qual é o comprimento desse acelerador quando medido no referencial dos próprios elétrons. Para isso, vamos usar a teoria da relatividade especial, especificamente o conceito de contração de comprimento.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é contração de comprimento. Na relatividade especial, quando um objeto está se movendo a uma velocidade próxima à da luz em relação a um observador, o comprimento do objeto na direção do movimento parece menor para esse observador. A fórmula que descreve essa contração é:
Onde:
- $ L $ é o comprimento no referencial do laboratório (3 km),
- $ L’ $ é o comprimento no referencial dos elétrons,
- $ \gamma $ é o fator de Lorentz.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o fator de Lorentz ($ \gamma
K $) está relacionada a $ \gamma $ pela fórmula:
Onde:
- $ m $ é a massa do elétron,
- $ c $ é a velocidade da luz.
Vamos reorganizar essa fórmula para encontrar $ \gamma $:
Passo 4
Precisamos dos valores numéricos para calcular $ \gamma $. Sabemos que:
- $ K = 20 , GeV = 20 \times 10^9 , eV $,
- A massa do elétron ($ m $) é aproximadamente $ 0,511 , MeV/c^2 = 0,511 \times 10^6 , eV/c^2 $.
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular:
Passo 6
Agora que temos $ \gamma $, podemos calcular o comprimento contraído $ L’ $:
Convertendo 3 km para metros:
Então:
Resposta
O comprimento do acelerador no referencial dos elétrons é aproximadamente 7,66 centímetros.