No acelerador linear de Stanford, os elétrons são acelerados até uma energia cinética de 20 GeV , ao longo dos 3 km do acelerador. Qual o comprimento do acelerador no referencial destes elétrons?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos elétrons sendo acelerados até uma energia cinética de 20 GeV em um acelerador linear que mede 3 km de comprimento. Queremos descobrir qual é o comprimento desse acelerador quando medido no referencial dos próprios elétrons. Para isso, vamos usar a teoria da relatividade especial, especificamente o conceito de contração de comprimento.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é contração de comprimento. Na relatividade especial, quando um objeto está se movendo a uma velocidade próxima à da luz em relação a um observador, o comprimento do objeto na direção do movimento parece menor para esse observador. A fórmula que descreve essa contração é:
L' = Lgamma
Onde:
  • $ L $ é o comprimento no referencial do laboratório (3 km),
  • $ L’ $ é o comprimento no referencial dos elétrons,
  • $ \gamma $ é o fator de Lorentz.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o fator de Lorentz ($ \gamma gamma éãáéé K $) está relacionada a $ \gamma $ pela fórmula:
K
Onde:
  • $ m $ é a massa do elétron,
  • $ c $ é a velocidade da luz.
Vamos reorganizar essa fórmula para encontrar $ \gamma $:
gamma

Passo 4

Precisamos dos valores numéricos para calcular $ \gamma $. Sabemos que:
  • $ K = 20 , GeV = 20 \times 10^9 , eV $,
  • A massa do elétron ($ m $) é aproximadamente $ 0,511 , MeV/c^2 = 0,511 \times 10^6 , eV/c^2 $.
Substituindo na fórmula:
gamma

Passo 5

Vamos calcular:
gamma = 1 + 20 times 10^90,511 times 10^6
gamma = 1 + 20 times 10^30,511
gamma approx 1 + 39175
gamma approx 39176

Passo 6

Agora que temos $ \gamma $, podemos calcular o comprimento contraído $ L’ $:
gamma
Convertendo 3 km para metros:
L'
Então:
L' = Lgamma = 3 , km39176
3 , km = 3000 , m
L' = 3000 , m39176

Resposta

O comprimento do acelerador no referencial dos elétrons é aproximadamente 7,66 centímetros.

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