Suponha que um pai, que é 25 anos mais velho que sua filha, viaje para fora da Terra durante 5 anos (relógio do pai) e retorne para a Terra levando mais 5 anos (idem). Ao seu retorno, o pai verifica que ele está 10 anos mais jovem que sua filha. Qual a velocidade da nave (em função de c) necessária para que isto ocorra?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um pai que é 25 anos mais velho que a filha dele. O pai embarca numa nave que viaja para fora da Terra durante 5 anos (segundo o relógio dele lá na nave) e depois volta, levando mais 5 anos na viagem de retorno. No total, para o pai, a viagem dura 10 anos. Quando ele retorna, descobre que está 10 anos mais jovem que a filha. Nosso objetivo aqui é descobrir a velocidade da nave em função da velocidade da luz
para que isso aconteça. Para resolver isso, vamos usar a teoria da Relatividade Especial de Einstein, especialmente o conceito de dilatação do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com o tempo para o pai e para a filha. Segundo a Relatividade Especial, o tempo passa de forma diferente para quem está se movendo em relação a quem está parado. Esse efeito é chamado de dilatação do tempo e é dado pela fórmula:
Onde:
-
é o tempo medido pelo observador em movimento (no caso, o pai na nave). -
é o tempo medido pelo observador em repouso (a filha na Terra). -
é a velocidade da nave. -
é a velocidade da luz.
Passo 3
Vamos identificar as informações do problema:
- Tempo para o pai na nave (
): 10 anos (5 anos indo + 5 anos voltando). - Diferença de idade quando retorna: 10 anos a mais para a filha. Isso significa que, durante a viagem, a filha envelheceu 10 anos a mais que o pai.
Então, o tempo que a filha sentiu na Terra (
) é o tempo do pai mais esses 10 anos:
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula da dilatação do tempo para relacionar
e
:
Queremos encontrar
, então vamos isolar
na equação.
Passo 5
Primeiro, vamos rearranjar a equação para resolver para
:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Isso nos leva a:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Aqui notamos que a equação resultou em uma quantidade negativa, o que não faz sentido no contexto físico, já que as velocidades ao quadrado são sempre positivas. Isso indica que houve um erro no nosso raciocínio anterior.
Na verdade, ao analisar novamente a fórmula da dilatação do tempo, percebemos que o tempo no referencial da filha deve ser maior que no da nave, então devemos ter a relação:
onde
Passo 8
Agora, usando a relação correta:
Sabemos que
anos e
anos, então:
Passo 9
Sabendo que
, podemos usar a definição de
para encontrar
:
Substituindo
:
Passo 10
Vamos isolar a raiz:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 11
Agora, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Portanto:
Resposta
A velocidade da nave necessária é
vezes a velocidade da luz, ou seja: