No acelerador linear de Stanford, os elétrons são acelerados até uma energia cinética de 20 GeV , ao longo dos 3 km do acelerador. Qual a velocidade desses elétrons?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o acelerador linear de Stanford, onde elétrons são acelerados até uma energia cinética de 20 GeV ao longo de 3 km. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade desses elétrons. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de física relativística, já que a energia envolvida é bem alta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética ($ K $) dos elétrons está relacionada à sua velocidade através da teoria da relatividade. A fórmula que vamos usar é:
K
Onde:
  • $ \gamma $ é o fator de Lorentz,
  • $ m $ é a massa do elétron,
  • $ c $ é a velocidade da luz.

Passo 3

Vamos isolar o fator $ \gamma $ na equação para facilitar nossos cálculos:
gamma
Conhecendo a energia cinética $ K = 20 , GeV $, precisamos converter isso para joules para manter as unidades consistentes.

Passo 4

Sabemos que:
1 , eV = 1,602 times 10^-19 , J
Então,
20 , GeV = 20 times 10^9 , eV = 20 times 10^9 times 1,602 times 10^-19 , J = 3,204 times 10^-9 , J

Passo 5

A massa de um elétron é:
m = 9,109 times 10^-31 , kg
E a velocidade da luz é:
c = 3 times 10^8 , m/s
Calculando $ m c^2 $:
m c^2

Passo 6

Agora, vamos encontrar $ \gamma $:
gamma

Passo 7

Com $ \gamma $ conhecido, podemos encontrar a velocidade $ v $ usando a relação:
gamma
Substituindo $ \gamma $:
v

Resposta

A velocidade dos elétrons é aproximadamente $ 3 \times 10^{8} , m/s $, ou seja, praticamente a velocidade da luz.

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