No acelerador linear de Stanford, os elétrons são acelerados até uma energia cinética de 20 GeV , ao longo dos 3 km do acelerador. Qual a velocidade desses elétrons?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o acelerador linear de Stanford, onde elétrons são acelerados até uma energia cinética de 20 GeV ao longo de 3 km. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade desses elétrons. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de física relativística, já que a energia envolvida é bem alta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética ($ K $) dos elétrons está relacionada à sua velocidade através da teoria da relatividade. A fórmula que vamos usar é:
Onde:
- $ \gamma $ é o fator de Lorentz,
- $ m $ é a massa do elétron,
- $ c $ é a velocidade da luz.
Passo 3
Vamos isolar o fator $ \gamma $ na equação para facilitar nossos cálculos:
Conhecendo a energia cinética $ K = 20 , GeV $, precisamos converter isso para joules para manter as unidades consistentes.
Passo 4
Sabemos que:
Então,
Passo 5
A massa de um elétron é:
E a velocidade da luz é:
Calculando $ m c^2 $:
Passo 6
Agora, vamos encontrar $ \gamma $:
Passo 7
Com $ \gamma $ conhecido, podemos encontrar a velocidade $ v $ usando a relação:
Substituindo $ \gamma $:
Resposta
A velocidade dos elétrons é aproximadamente $ 3 \times 10^{8} , m/s $, ou seja, praticamente a velocidade da luz.