Um cubo de aço tem volume de 10 cm^3 e massa de 80 g , quando em repouso na Terra. Se o cubo estiver se movendo com velocidade v=0,995 c na direção x , qual a sua massa específica para um observador no referencial da Terra?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um cubo de aço com volume de 10 , cm^3 e massa de 80 , g em repouso na Terra. O cubo está se movendo com uma velocidade de v = 0,995 , c na direção x, onde c é a velocidade da luz. Queremos calcular a massa específica desse cubo para um observador na Terra.
Conteúdos envolvidos:
  • Relatividade Especial: já que a velocidade do cubo é uma fração significativa da velocidade da luz.
  • Fator de Lorentz ( gamma): que relaciona a velocidade do objeto com a velocidade da luz.
  • Contração do comprimento: que ocorre na direção do movimento quando um objeto se move a velocidades relativísticas.
  • Massa específica: que é a massa dividida pelo volume.

Passo 2

Vamos calcular o fator de Lorentz ( gamma), que é essencial para entender como a massa e o volume do cubo mudam devido à sua alta velocidade.
A fórmula para o fator de Lorentz é:
gamma = 1raiz1 - (vc)^2
Substituindo v = 0,995, c:
gamma = 1raiz1 - (0,995)^2 = 1raiz1 - 0,990025 = 1raiz0,009975 approx 10,0125

Passo 3

Com o valor de gamma, podemos calcular a massa relativística ( m') do cubo quando ele está se movendo. A massa relativística é dada por:
m' = gamma cdot m
Onde m = 80, g:
m' = 10,0125 times 80, g approx 800,999, g

Passo 4

Agora, vamos considerar que o volume do cubo também sofre alterações devido à sua velocidade. Na direção do movimento (eixo x), o comprimento do cubo é contraído, enquanto nas outras direções permanece o mesmo. A contração do comprimento é dada por:
L' = Lgamma
Como o volume original V = 10, cm^3 é L times L times L, e apenas uma dimensão (a direção x) é contraída, o volume contraído V' será:
V' = Lgamma times L times L = Vgamma
Portanto:
V' = 10, cm^310,0125 approx 0,99875, cm^3

Passo 5

Finalmente, para encontrar a massa específica ( rho') do cubo no referencial da Terra, dividimos a massa relativística pelo volume contraído:
rho' = m'V' = 800,999, g0,99875, cm^3 approx 801,5, g/cm^3

Resposta

A massa específica do cubo para um observador no referencial da Terra é aproximadamente 801,5 , g/cm^3.

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