No acelerador linear de Stanford, os elétrons são acelerados até uma energia cinética de 20 GeV , ao longo dos 3 km do acelerador. (a) Qual o fator gamma destes elétrons? (b) Qual a velocidade desses elétrons? © Qual o comprimento do acelerador no referencial destes elétrons?

Passo 1

Então, temos um exercício sobre o acelerador linear de Stanford onde elétrons são acelerados até uma energia cinética de 20 GeV ao longo de 3 km. Vamos usar conceitos de relatividade para calcular três coisas: o fator gamma, a velocidade dos elétrons e o comprimento do acelerador no referencial desses elétrons.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o fator gamma. O fator gamma é uma medida de quanto a relatividade está afetando o movimento do elétron. Ele é dado pela fórmula:
gamma = Etotalm0 c^2
Onde Etotal é a energia total do elétron, m0 é a massa de repouso do elétron, e c é a velocidade da luz.

Passo 3

A energia total Etotal é a soma da energia de repouso e da energia cinética:
Etotal = Ecinética + m0 c^2 é
Sabemos que Ecinética = 20 , GeVé. A massa de repouso do elétron m0 c^2 é aproximadamente 0,511 , MeV.

Passo 4

Convertendo tudo para a mesma unidade (GeV):
m0 c^2 = 0,511 , MeV = 0,000511 , GeV
Então:
Etotal = 20 , GeV + 0,000511 , GeV approx 20 , GeV

Passo 5

Agora, calculamos gamma:
gamma = 20 , GeV0,000511 , GeV approx 3,915 times 10^4

Passo 6

Próximo, vamos encontrar a velocidade dos elétrons. A relação entre gamma e a velocidade v é:
gamma = 1raiz1 - ( vc )^2
Resolvendo para v:
v = c raiz1 - 1gamma^2

Passo 7

Substituindo gamma approx 3,915 times 10^4:
v = c raiz1 - 1(3,915 times 10^4)^2 approx c (1 - 12 (13,915 times 10^4)^2)
Como gamma é muito grande, v está extremamente próximo de c.

Passo 8

Por fim, vamos calcular o comprimento do acelerador no referencial dos elétrons. De acordo com a contração do comprimento na relatividade:
L' = Lgamma
Onde L = 3 , km.

Passo 9

Substituindo os valores:
L' = 3 , km3,915 times 10^4 approx 0,0766 , m approx 7,66 , cm

Resposta

(a) O fator gamma dos elétrons é aproximadamente 3,915 times 10^4.
(b) A velocidade dos elétrons é extremamente próxima à velocidade da luz, v approx c.
© O comprimento do acelerador no referencial dos elétrons é cerca de 7,66 , cm.

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