Um próton se move em uma órbita circular de 14 cm de raio, em um campo magnético uniforme de magnitude 0,35 T, cuja orientação é perpendicular à velocidade do próton.
Se um elétron se move perpendicularmente a este mesmo campo, com uma velocidade de mesma magnitude que a do próton, qual será o raio de sua órbita circular?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta que um próton está se movendo em uma órbita circular com raio de 14 cm dentro de um campo magnético uniforme de 0,35 T, e que a direção desse campo é perpendicular à velocidade do próton. A gente precisa descobrir qual será o raio da órbita circular de um elétron que se move perpendicularmente ao mesmo campo, com a mesma velocidade que o próton.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de física do eletromagnetismo, especificamente a força magnética que atua sobre partículas carregadas em movimento. Vamos precisar entender como a massa e a carga das partículas influenciam o raio da órbita quando estão sujeitas a um campo magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula carregada, como um próton ou um elétron, se move em um campo magnético, ela sofre uma força chamada força de Lorentz. Essa força faz com que a partícula se mova em uma trajetória circular. A fórmula da força magnética é:
F = q cdot v cdot B
Onde:
  • $ F $ é a força magnética,
  • $ q $ é a carga da partícula,
  • $ v $ é a velocidade da partícula,
  • $ B $ é a intensidade do campo magnético.

Passo 3

Para que a partícula se mova em uma órbita circular, a força magnética precisa fornecer a força centrípeta necessária para manter a trajetória. A força centrípeta é dada por:
Fcentrípeta = m cdot v^2r í
Onde:
  • $ m $ é a massa da partícula,
  • $ v $ é a velocidade,
  • $ r $ é o raio da órbita.

Passo 4

Igualando a força magnética à força centrípeta, temos:
q cdot v cdot B = m cdot v^2r
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por $ v $:
v
Agora, isolando $ r $:
q cdot B = m cdot vr
Essa é a fórmula que nos dá o raio da órbita em função da massa, velocidade, carga da partícula e intensidade do campo magnético.

Passo 5

Agora, vamos aplicar essa fórmula tanto para o próton quanto para o elétron. Sabemos que a velocidade $ v $ é a mesma para ambos, e o campo magnético $ B $ também é o mesmo. A carga $ q $ do próton é igual em módulo à carga do elétron, mas de sinal contrário. A massa $ m $, no entanto, é diferente.
A relação entre os raios será:
v
Onde:
  • $ r_e $ é o raio da órbita do elétron,
  • $ r_p $ é o raio da órbita do próton,
  • $ m_e $ é a massa do elétron,
  • $ m_p $ é a massa do próton.

Passo 6

Sabemos que a massa do elétron $ m_e $ é aproximadamente $ 9,11 \times 10^{-31} $ kg e a massa do próton $ m_p $ é aproximadamente $ 1,67 \times 10^{-27} $ kg. Vamos calcular a razão:
me

Passo 7

Agora, usando a relação dos raios:
re = rp times memp
Substituindo os valores:
re = 14 , cm times 5,46 times 10^-4
re approx 0,00764 , cm

Resposta

O raio da órbita circular do elétron será aproximadamente 0,76 mm.

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