A massa de um múon é 207 vezes maior do que a do elétron. A vida média dos múons no referencial em repouso é de 2,2 mu s. Em um experimento, o tempo de vida médio de múons se movendo dentro de um laboratório é medido em 8 mu s. Calcule: a) v/c; b) K ; c) p.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Física que envolve conceitos de relatividade e partículas subatômicas. A questão fala sobre múons, que são partículas semelhantes aos elétrons, mas com massa maior. Precisamos calcular três coisas: a velocidade dos múons em relação à velocidade da luz (v/c), sua energia cinética (K) e seu momento linear §. Para isso, vamos usar conceitos de dilatação do tempo, massa relativística, energia e momento na teoria da relatividade especial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a vida média de uma partícula. A vida média é o tempo que, em média, uma partícula leva para decair. No referencial em repouso, a vida média dos múons é de 2,2 mu s, mas no laboratório, onde os múons estão se movendo, esse tempo aumenta para 8 mu s. Esse aumento ocorre por causa da dilatação do tempo, um efeito da teoria da relatividade especial de Einstein.

Passo 3

A dilatação do tempo nos diz que o tempo medido em um referencial em movimento é maior que no referencial em repouso. A fórmula para a dilatação do tempo é:
t = gamma t0
onde:
  • t é o tempo no referencial em movimento (laboratório),
  • t0 é o tempo no referencial em repouso,
  • gamma é o fator de Lorentz, dado por:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2

Passo 4

Nosso objetivo no item a) é encontrar v/c. Primeiro, vamos isolar gamma na equação da dilatação do tempo:
gamma = tt0 = 8 mu s2,2 mu s approx 3,636
Agora, sabemos que:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2
Vamos resolver para vc.

Passo 5

Rearranjando a equação para encontrar v^2c^2:
raiz1 - v^2c^2 = 1gamma 1 - v^2c^2 = (1gamma)^2 v^2c^2 = 1 - (1gamma)^2 vc = raiz1 - 1gamma^2

Passo 6

Substituindo gamma approx 3,636:
vc = raiz1 - 1(3,636)^2 vc = raiz1 - 113,23 vc = raiz12,2313,23 vc approx raiz0,924 approx 0,961

Passo 7

Agora, para o item b), precisamos calcular a energia cinética K dos múons. A energia cinética relativística é dada por:
K = (gamma - 1) m0 c^2
onde m0 é a massa de repouso do múon.

Passo 8

Sabemos que a massa do múon é 207 vezes a massa do elétron. A massa do elétron é aproximadamente 9,11 times 10^-31 kg, então:
m0 = 207 times 9,11 times 10^-31 , kg approx 1,886 times 10^-28 , kg

Passo 9

Substituindo os valores na fórmula da energia cinética:
K = (3,636 - 1) times 1,886 times 10^-28 , kg times (3 times 10^8 , m/s)^2 K = 2,636 times 1,886 times 10^-28 times 9 times 10^16 K approx 2,636 times 1,886 times 9 times 10^-12 , J K approx 4,48 times 10^-11 , J

Passo 10

Para converter a energia cinética de joules para elétron-volts (eV), usamos a relação 1 , eV = 1,602 times 10^-19 , J:
K approx 4,48 times 10^-11 , J1,602 times 10^-19 , J/eV approx 2,8 times 10^8 , eV = 280 , MeV

Passo 11

Por fim, para o item c), vamos calcular o momento linear p dos múons. A fórmula relativística para o momento é:
p = gamma m0 v
Já temos gamma approx 3,636, m0 approx 1,886 times 10^-28 , kg e vc approx 0,961, então v approx 0,961 c.

Passo 12

Calculando v:
v approx 0,961 times 3 times 10^8 , m/s approx 2,883 times 10^8 , m/s
Agora, substituímos na fórmula do momento:
p = 3,636 times 1,886 times 10^-28 , kg times 2,883 times 10^8 , m/s p approx 3,636 times 1,886 times 2,883 times 10^-20 , kg cdot m/s p approx 19,7 times 10^-20 , kg cdot m/s p approx 1,97 times 10^-19 , kg cdot m/s

Resposta

a) vc approx 0,961;
b) K approx 280 , MeV;
c) p approx 1,97 times 10^-19 , kg cdot m/s.

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