A massa de um múon é 207 vezes maior do que a do elétron. A vida média dos múons no referencial em repouso é de
. Em um experimento, o tempo de vida médio de múons se movendo dentro de um laboratório é medido em
. Calcule: a) v/c; b) K ; c) p.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Física que envolve conceitos de relatividade e partículas subatômicas. A questão fala sobre múons, que são partículas semelhantes aos elétrons, mas com massa maior. Precisamos calcular três coisas: a velocidade dos múons em relação à velocidade da luz (v/c), sua energia cinética (K) e seu momento linear §. Para isso, vamos usar conceitos de dilatação do tempo, massa relativística, energia e momento na teoria da relatividade especial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a vida média de uma partícula. A vida média é o tempo que, em média, uma partícula leva para decair. No referencial em repouso, a vida média dos múons é de
, mas no laboratório, onde os múons estão se movendo, esse tempo aumenta para
. Esse aumento ocorre por causa da dilatação do tempo, um efeito da teoria da relatividade especial de Einstein.
Passo 3
A dilatação do tempo nos diz que o tempo medido em um referencial em movimento é maior que no referencial em repouso. A fórmula para a dilatação do tempo é:
onde:
-
é o tempo no referencial em movimento (laboratório), -
é o tempo no referencial em repouso, -
é o fator de Lorentz, dado por:
Passo 4
Nosso objetivo no item a) é encontrar
. Primeiro, vamos isolar
na equação da dilatação do tempo:
Agora, sabemos que:
Vamos resolver para
.
Passo 5
Rearranjando a equação para encontrar
:
Passo 6
Substituindo
:
Passo 7
Agora, para o item b), precisamos calcular a energia cinética
dos múons. A energia cinética relativística é dada por:
onde
é a massa de repouso do múon.
Passo 8
Sabemos que a massa do múon é 207 vezes a massa do elétron. A massa do elétron é aproximadamente
kg, então:
Passo 9
Substituindo os valores na fórmula da energia cinética:
Passo 10
Para converter a energia cinética de joules para elétron-volts (eV), usamos a relação
:
Passo 11
Por fim, para o item c), vamos calcular o momento linear
dos múons. A fórmula relativística para o momento é:
Já temos
,
e
, então
.
Passo 12
Calculando
:
Agora, substituímos na fórmula do momento:
Resposta
a)
;
b)
;
c)
.