No acelerador de particulas Fermilab, que fica na Batavia - Illinois, os prótons tem momento de
e são mantidos em órbita circular com raio de
através de um campo magnético dirigido para cima. Qual a magnitude deste campo?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a magnitude do campo magnético que mantém prótons em órbita circular de raio
, sabendo que os prótons têm momento
e que o campo magnético está dirigido para cima?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- momento linear do próton:
. - raio da órbita:
. (Estou pegando o valor de do enunciado.) - o campo magnético tem direção para cima (isso indica que a força magnética é perpendicular à velocidade e fornece a força centrípeta), mas a pergunta pede apenas a magnitude do campo.
Passo 2
Conceitos fundamentais que vamos usar (explicados passo a passo):
- Força magnética sobre uma partícula carregada: uma carga
movendo-se com velocidade num campo magnético sofre a força de Lorentz . A magnitude dessa força, quando é perpendicular a , é . Aqui: -
é a carga da partícula (para o próton, , a carga elementar); -
é a velocidade da partícula; -
é a magnitude do campo magnético.
-
- Para manter a partícula em movimento circular uniforme de raio
a velocidade , é necessária uma força centrípeta de magnitude (onde é a massa da partícula). - Igualando a força magnética (que é a causa da curvatura) à força centrípeta quando
, obtemos . Simplificando por (assumindo ), obtemos . - Observação importante:
é o momento linear não relativístico; mais geralmente, denota o momento (relativístico se necessário). A relação que fica, sem assumir detalhes sobre relatividade, é
Essa relação é muito prática: ela diz que para uma partícula de momento
em movimento perpendicular a um campo
, o raio da órbita é
. Invertendo, a magnitude do campo é
.
- O que cada símbolo representa:
-
: momento linear da partícula (dado), -
: carga da partícula (próton ), -
: raio da órbita (dado), -
: magnitude do campo magnético (o que queremos).
-
Passo 3
Escrevendo a fórmula que vamos usar e explicando cada termo:
Aqui substituiremos:
-
(dado), -
(valor da carga elementar; estou usando este valor padrão), -
(conversão de ).
Passo 4
Substituindo os números na fórmula e organizando os termos:
Calculemos primeiro o denominador:
Passo 5
Agora dividimos:
Os fatores
cancelam, e ficamos com
Arredondando com sensatez para duas algarismos significativos (os dados têm duas algarismos relevantes), obtemos
Passo 6
Verificação de unidade: a expressão
tem unidades
. Usando
, a unidade resulta em tesla (
), consistente com um campo magnético. Tudo confere.\n
Bom trabalho — deu certo! Um campo de cerca de é grande, compatível com ímãs fortes usados em aceleradores.
Bom trabalho — deu certo! Um campo de cerca de