No acelerador de particulas Fermilab, que fica na Batavia - Illinois, os prótons tem momento de 4,8 \times 10^{-16} \mathrm{~kg} \mathrm{~m} / \mathrm{s} e são mantidos em órbita circular com raio de \mathbf{1} \mathrm{km} através de um campo magnético dirigido para cima. Qual a magnitude deste campo?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a magnitude do campo magnético que mantém prótons em órbita circular de raio 1\\ \mathrm{km}, sabendo que os prótons têm momento 4{,}8\times10^{-16}\\ \mathrm{kg\\ m/s} e que o campo magnético está dirigido para cima?”\n
Informações dadas:
  • momento linear do próton: p = 4{,}8\times10^{-16}\\ \mathrm{kg\\ m/s}.
  • raio da órbita: r = 1\\ \mathrm{km} = 1000\\ \mathrm{m}. (Estou pegando o valor de 1\\ \mathrm{km} do enunciado.)
  • o campo magnético tem direção para cima (isso indica que a força magnética é perpendicular à velocidade e fornece a força centrípeta), mas a pergunta pede apenas a magnitude do campo.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicados passo a passo):
  • Força magnética sobre uma partícula carregada: uma carga q movendo-se com velocidade \mathbf{v} num campo magnético \mathbf{B} sofre a força de Lorentz \mathbf{F} = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}. A magnitude dessa força, quando \mathbf{v} é perpendicular a \mathbf{B}, é |F| = q\,v\,B. Aqui:
    • q é a carga da partícula (para o próton, q = e, a carga elementar);
    • v é a velocidade da partícula;
    • B é a magnitude do campo magnético.
  • Para manter a partícula em movimento circular uniforme de raio r a velocidade v, é necessária uma força centrípeta de magnitude |F_c| = \dfrac{m v^2}{r} (onde m é a massa da partícula).
  • Igualando a força magnética (que é a causa da curvatura) à força centrípeta quando \mathbf{v}\perp\mathbf{B}, obtemos q v B = \dfrac{m v^2}{r}. Simplificando por v (assumindo v\neq0), obtemos q B = \dfrac{m v}{r}.
  • Observação importante: p = m v é o momento linear não relativístico; mais geralmente, p denota o momento (relativístico se necessário). A relação que fica, sem assumir detalhes sobre relatividade, é
p = q B r.
Essa relação é muito prática: ela diz que para uma partícula de momento p em movimento perpendicular a um campo B, o raio da órbita é r = \dfrac{p}{q B}. Invertendo, a magnitude do campo é B = \dfrac{p}{q r}.
  • O que cada símbolo representa:
    • p: momento linear da partícula (dado),
    • q: carga da partícula (próton \,=e),
    • r: raio da órbita (dado),
    • B: magnitude do campo magnético (o que queremos).

Passo 3

Escrevendo a fórmula que vamos usar e explicando cada termo:
B = \frac{p}{q\,r}.
Aqui substituiremos:
  • p = 4{,}8\times10^{-16}\\ \mathrm{kg\\ m/s} (dado),
  • q = e = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (valor da carga elementar; estou usando este valor padrão),
  • r = 1000\\ \mathrm{m} (conversão de 1\\ \mathrm{km}).

Passo 4

Substituindo os números na fórmula e organizando os termos:
B = \frac{4{,}8\times10^{-16}}{(1{,}602\times10^{-19})\times(1000)}\\ \mathrm{T}.
Calculemos primeiro o denominador:
(1{,}602\times10^{-19})\times(1000)=1{,}602\times10^{-16}.

Passo 5

Agora dividimos:
B = \frac{4{,}8\times10^{-16}}{1{,}602\times10^{-16}}.
Os fatores 10^{-16} cancelam, e ficamos com
B \approx \frac{4{,}8}{1{,}602}\approx 2{,}995\ldots
Arredondando com sensatez para duas algarismos significativos (os dados têm duas algarismos relevantes), obtemos
B \approx 3{,}0\\ \mathrm{T}.

Passo 6

Verificação de unidade: a expressão p/(q r) tem unidades (\mathrm{kg\\ m/s})/(\mathrm{C\\ m})=\mathrm{kg/(C\\ s)}. Usando \mathrm{1\\ T} = 1\\ \mathrm{kg/(C\\ s)}, a unidade resulta em tesla ( \mathrm{T}), consistente com um campo magnético. Tudo confere.\n
Bom trabalho — deu certo! Um campo de cerca de 3{,}0\\ \mathrm{T} é grande, compatível com ímãs fortes usados em aceleradores.

Resposta

3{,}0\\ \mathrm{T}

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