Acerca do campo vetorial F(x, y)=(x+y) i+(x-2) j responda: (25 pontos)
Indique alguma função escalar f(x, y) real tal que F(x, y)=nabla f, caso exista.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar uma função escalar f(x, y) tal que o campo vetorial F(x, y) = (x + y)i + (x - 2)j seja igual ao gradiente dessa função, ou seja, F = nabla f . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre campos conservativos e potenciais. Para resolver, vamos verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar f(x, y) .

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar, o que também significa que suas derivadas cruzadas são iguais. Ou seja, precisamos checar se:
partial Fxpartial y = partial Fypartial x
Onde Fx = x + y e Fy = x - 2 .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Fxpartial y = partial (x + y)partial y = 1
partial Fypartial x = partial (x - 2)partial x = 1
Como partial Fxpartial y = partial Fypartial x = 1 , o campo F é conservativo. Então, existe uma função f(x, y) tal que F = nabla f .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função f(x, y) . Sabemos que:
partial fpartial x = Fx = x + y
Vamos integrar isso em relação a x :
f(x, y) = integral (x + y) , dx = x^22 + yx + C(y)
Aqui, C(y) é uma função de y que aparece como constante de integração.

Passo 5

Para encontrar C(y) , usamos a outra relação:
partial fpartial y = Fy = x - 2
Derivando f(x, y) em relação a y :
partial fpartial y = x + C'(y) = x - 2
Isso implica que C'(y) = -2 , então:
C(y) = -2y + K
Onde K é uma constante qualquer. Podemos ignorar K ou considerá-la zero para simplificar.

Resposta

A função escalar procurada é:
f(x, y) = x^22 + x y - 2 y

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