Acerca do campo vetorial
responda:
pontos)
Indique alguma função escalar
real tal que
, caso exista.
Indique alguma função escalar
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar uma função escalar
tal que o campo vetorial
seja igual ao gradiente dessa função, ou seja,
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre campos conservativos e potenciais. Para resolver, vamos verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar
.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar, o que também significa que suas derivadas cruzadas são iguais. Ou seja, precisamos checar se:
Onde
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo. Então, existe uma função
tal que
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função
. Sabemos que:
Vamos integrar isso em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece como constante de integração.
Passo 5
Para encontrar
, usamos a outra relação:
Derivando
em relação a
:
Isso implica que
, então:
Onde
é uma constante qualquer. Podemos ignorar
ou considerá-la zero para simplificar.
Resposta
A função escalar procurada é: