Acerca do campo vetorial F(x, y)=(x+y) i+(x-2) j responda: (25 pontos)
O campo é conservativo ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o campo vetorial F(x, y) = (x + y) i + (x - 2) j é conservativo. Isso está dentro do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Pra resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como identificar se um campo dado é conservativo usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele puder ser expresso como o gradiente de uma função potencial. Em termos mais simples, isso significa que existe uma função phi(x, y) tal que:
F(x, y) = nabla phi = ( partial phipartial x ) i + ( partial phipartial y ) j

Passo 3

Agora, um critério essencial para um campo F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j ser conservativo é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais. Ou seja:
partial Qpartial x = partial Ppartial y
Isso garante que a condição necessária para a existência da função potencial phi seja atendida.

Passo 4

Vamos aplicar isso ao nosso campo F(x, y) = (x + y) i + (x - 2) j . Aqui, temos:
P(x, y) = x + y e Q(x, y) = x - 2
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x(x - 2) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y(x + y) = 1

Passo 5

Comparando as duas derivadas parciais:
partial Qpartial x = 1 e partial Ppartial y = 1
Como partial Qpartial x = partial Ppartial y , a condição para o campo ser conservativo é satisfeita.

Resposta

Sim, o campo vetorial F(x, y) = (x + y) i + (x - 2) j é conservativo.

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