Acerca do campo vetorial
responda:
pontos)
O campo é conservativo ?
O campo é conservativo ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Isso está dentro do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Pra resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como identificar se um campo dado é conservativo usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele puder ser expresso como o gradiente de uma função potencial. Em termos mais simples, isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 3
Agora, um critério essencial para um campo
ser conservativo é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais. Ou seja:
Isso garante que a condição necessária para a existência da função potencial
seja atendida.
Passo 4
Vamos aplicar isso ao nosso campo
. Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Comparando as duas derivadas parciais:
Como
, a condição para o campo ser conservativo é satisfeita.
Resposta
Sim, o campo vetorial
é conservativo.