Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. A equação é:
Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver EDOs lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação na forma padrão de uma EDO linear:
Aqui, comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
. Esse fator nos ajuda a transformar a equação em algo que podemos integrar facilmente. A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular isso:
Passo 4
Com o fator integrante em mãos, vamos multiplicar toda a equação original por
:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Percebe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso facilita muito a resolução, pois agora podemos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Vamos integrar os dois lados:
Integrando, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Passo 8
Por fim, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: