Resolva os problemas de valor inicial:
y^prime+3 t^2 y=e^-t^3+t ; y(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. A equação é:
y^prime + 3 t^2 y = e^-t^3 + t, y(0) = 2
Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver EDOs lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação na forma padrão de uma EDO linear:
y^prime + P(t) y = Q(t)
Aqui, comparando com a nossa equação:
  • P(t) = 3 t^2
  • Q(t) = e^-t^3 + t

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(t) . Esse fator nos ajuda a transformar a equação em algo que podemos integrar facilmente. A fórmula para o fator integrante é:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Vamos calcular isso:
mu(t) = e^integral 3 t^2 , dt = e^t^3

Passo 4

Com o fator integrante em mãos, vamos multiplicar toda a equação original por mu(t) :
e^t^3 y^prime + e^t^3 cdot 3 t^2 y = e^t^3 cdot e^-t^3 + t
Simplificando o lado direito:
e^t^3 cdot e^-t^3 + t = e^t
Então, a equação fica:
e^t^3 y^prime + 3 t^2 e^t^3 y = e^t

Passo 5

Percebe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(t) y . Ou seja:
ddt ( e^t^3 y ) = e^t
Isso facilita muito a resolução, pois agora podemos integrar ambos os lados em relação a t .

Passo 6

Vamos integrar os dois lados:
integral ddt ( e^t^3 y ) , dt = integral e^t , dt
Integrando, temos:
e^t^3 y = e^t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos resolver para y :
y = e^-t^3 (e^t + C) = e^t - t^3 + C e^-t^3

Passo 8

Por fim, aplicamos a condição inicial y(0) = 2 para encontrar C :
2 = e^0 - 0 + C e^0 2 = 1 + C C = 1

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:
y(t) = e^t - t^3 + e^-t^3

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