Acerca dos conceitos de distribuição de probabilidade, julgue os itens seguintes com V se a afirmação é verdadeira e com F se for falsa. Justifique.
(a) ( ) A probabilidade de sair ao menos uma cara em três lançamentos consecutivos de uma moeda não viciada é de aproximadamente 95 \%.
(b) ( ) Em uma distribuição binomial, as séries de tentativas, ou observações, são constituídas de eventos independentes.
(c) ( ) A distribuição binomial é utilizada apenas quando há infinitos experimentos independentes, e é aplicada no cálculo da média de uma amostra.
(d) ( ) Uma distribuição Binomial realiza 100 ensaios. O valor máximo que a variância dessa variável pode assumir é 50 .
(e) Considerando que uma variável aleatória X siga uma distribuição binomial com média igual a 80 e desvio padrão igual a 4, então é correto afirmar que P(X \geq 115)=0.

Passo 1

O enunciado pede para julgar cinco afirmações sobre distribuições de probabilidade, em especial a distribuição binomial. Para isso vamos usar: probabilidade complementar em experimentos independentes (item a), definição de independência na binomial (b), condições de aplicação da binomial (c), fórmula da variância em Binomial e seu valor máximo (d) e relações média e variância em Binomial para determinar suporte da variável (e).

Passo 2

Para três lançamentos de moeda não viciada, a probabilidade de sair pelo menos uma cara é
P(\text{>=1 cara}) = 1 - P(\text{nenhuma cara}) = 1 - \Bigl(\tfrac12\Bigr)^3 = 1 - \tfrac18 = \tfrac78 \approx 0{,}875.
Como 0{,}875 não é aproximadamente 0{,}95, a afirmação é falsa.

Passo 3

Por definição, na distribuição binomial cada tentativa é um ensaio de Bernoulli independente. Logo, a afirmação de que as séries de tentativas são eventos independentes é verdadeira.

Passo 4

A distribuição binomial modela um número finito n de ensaios independentes de Bernoulli, não infinitos, e serve para contar sucessos, não para “calcular a média de uma amostra”. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 5

Para X\sim\mathrm{Bin}(n,p), a variância é
\sigma^2 = np(1-p),
que atinge valor máximo quando p=\tfrac12, dando
\sigma^2_{\max} = n\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12 = \tfrac n4.
Se n=100, então \sigma^2_{\max}=25, não 50. A afirmação é falsa.

Passo 6

Seja X\sim\mathrm{Bin}(n,p) com média \mu=np=80 e desvio padrão \sigma=4, logo \sigma^2=np(1-p)=16. Temos
np=80, \quad np(1-p)=16.
Das duas equações segue n=100 e p=0{,}8, então X toma valores em \{0,1,\dots,100\}. Logo
P(X\ge115)=0
pois 115 está fora do suporte. A afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) F
(b) V
(c) F
(d) F
(e) V

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