Em um sistema de comunicação digital, cada bit transmitido tem uma probabilidade de erro de 0,01 . Um pacote de dados contém 100 bits. Qual a probabilidade de que:
(a) Nenhum bit seja transmitido com erro?
(b) No máximo 5 bits sejam transmitidos com erro?
(c) Pelo menos 10 bits sejam transmitidos com erro?
Utilize a aproximação Normal da binomial. Compare os resultados com os valores exatos.

Passo 1

O enunciado diz que em cada bit transmitido a probabilidade de erro é p=0,01 e temos n=100 bits por pacote. Se X é o número de bits com erro, então
X \sim \mathrm{Binomial}(n=100,\;p=0,01).
Precisamos calcular
(a) \Pr(X=0),
(b) \Pr(X\le5) e
(c) \Pr(X\ge10)
usando a aproximação Normal com correção de continuidade e comparar com os valores exatos (Binomial).

Passo 2

Antes de tudo, determinamos a média e o desvio-padrão de X:
\mu = n p = 100 \times 0,01 = 1,
\sigma = \sqrt{n p(1-p)} = \sqrt{100 \times 0,01 \times 0,99} \approx 0,995.
Na aproximação Normal usamos X\approx Y\sim N(\mu,\sigma^2) e aplicamos correção de continuidade.

Passo 3

(a) Para \Pr(X=0)
Exato (Binomial):
\Pr(X=0) = (1-p)^n = 0,99^{100} \approx 0,3660.
Normal com correção de continuidade:
\Pr(-0{,}5 \le Y \le 0{,}5) = \Phi\!\Bigl(\frac{0{,}5 - 1}{0{,}995}\Bigr) - \Phi\!\Bigl(\frac{-0{,}5 - 1}{0{,}995}\Bigr).
Calculando os zs:
z_1 = \frac{-0,5 - 1}{0,995}\approx -1,507,\quad z_2 = \frac{0,5 - 1}{0,995}\approx -0,503,
\Pr( X=0 )_{\rm approx} \approx \Phi(-0,503) - \Phi(-1,507) \approx 0,3085 - 0,0657 = 0,2428.

Passo 4

(b) Para \Pr(X\le5)
Exato (Binomial):
\Pr(X\le5)=\sum_{k=0}^{5} \binom{100}{k}(0,01)^k(0,99)^{100-k}\approx 0,9986.
Normal com correção de continuidade:
\Pr(X\le5)\approx \Pr\bigl(Y\le5,5\bigr) = \Phi\!\Bigl(\frac{5,5 - 1}{0,995}\Bigr).
z = \frac{5,5 - 1}{0,995}\approx 4,523 \quad\Longrightarrow\quad \Phi(4,523)\approx 0,999997.

Passo 5

(c) Para \Pr(X\ge10)
Exato (Binomial):
\Pr(X\ge10)=1-\sum_{k=0}^{9}\binom{100}{k}(0,01)^k(0,99)^{100-k}.
Num cálculo aproximado (usando, por exemplo, Poisson \lambda=np=1) obtém-se algo da ordem de
\Pr(X\ge10)_{\rm exato}\approx 8\times10^{-8}.
Normal com correção de continuidade:
\Pr(X\ge10)\approx \Pr\bigl(Y\ge9,5\bigr) =1 - \Phi\!\Bigl(\frac{9,5 - 1}{0,995}\Bigr),
z = \frac{9,5 - 1}{0,995}\approx 8,543 \quad\Longrightarrow\quad 1-\Phi(8,543)\approx 0\\ (\text{praticamente nulo}).

Passo 6

Comparando:
  • Em (a) a aproximação Normal deu 0,2428, bem diferente do exato 0,3660 (pouco p e np pequeno prejudicam a Normal).
  • Em (b) a Normal deu 0,999997 contra exato 0,9986 (muito boa).
  • Em (c) ambas indicam probabilidade praticamente zero, mas o valor exato é da ordem de 10^{-7}, enquanto a Normal retorna literalmente zero.

Resposta

(a) Exato: 0,3660. Aproximação Normal: 0,2428.
(b) Exato: 0,9986. Aproximação Normal: 0,999997.
(c) Exato: 8\times10^{-8} (aprox.). Aproximação Normal: 0.

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