Em um sistema de comunicação digital, cada bit transmitido tem uma probabilidade de erro de 0,01 . Um pacote de dados contém 100 bits. Qual a probabilidade de que:
(a) Nenhum bit seja transmitido com erro?
(b) No máximo 5 bits sejam transmitidos com erro?
(c) Pelo menos 10 bits sejam transmitidos com erro?
Utilize a aproximação Normal da binomial. Compare os resultados com os valores exatos.
(a) Nenhum bit seja transmitido com erro?
(b) No máximo 5 bits sejam transmitidos com erro?
(c) Pelo menos 10 bits sejam transmitidos com erro?
Passo 1
O enunciado diz que em cada bit transmitido a probabilidade de erro é
e temos
bits por pacote. Se
é o número de bits com erro, então
Precisamos calcular
(a) ,
(b) e
(c)
usando a aproximação Normal com correção de continuidade e comparar com os valores exatos (Binomial).
(a)
(b)
(c)
usando a aproximação Normal com correção de continuidade e comparar com os valores exatos (Binomial).
Passo 2
Antes de tudo, determinamos a média e o desvio-padrão de
:
Na aproximação Normal usamos
e aplicamos correção de continuidade.
Passo 3
(a) Para
Exato (Binomial):
Normal com correção de continuidade:
Calculando os
s:
Passo 4
(b) Para
Exato (Binomial):
Normal com correção de continuidade:
Passo 5
(c) Para
Exato (Binomial):
Num cálculo aproximado (usando, por exemplo, Poisson
) obtém-se algo da ordem de
Normal com correção de continuidade:
Passo 6
Comparando:
- Em (a) a aproximação Normal deu
, bem diferente do exato (pouco p e pequeno prejudicam a Normal). - Em (b) a Normal deu
contra exato (muito boa). - Em (c) ambas indicam probabilidade praticamente zero, mas o valor exato é da ordem de
, enquanto a Normal retorna literalmente zero.
Resposta
(a) Exato:
. Aproximação Normal:
.
(b) Exato: . Aproximação Normal:
.
(c) Exato: (aprox.). Aproximação Normal:
.
(b) Exato:
(c) Exato: