Em uma população, a probabilidade de infecção por uma determinada doença é p. Se n indivíduos dessa população são selecionados aleatoriamente, o número de pessoas infectadas tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p. Considerando que o valor esperado dessa distribuição é 6 e a variância é 5, 28, qual a probabilidade de não se infectar pela doença nessa população?

Passo 1

O enunciado diz que o número de infectados X em n indivíduos segue
X \sim \mathrm{Binomial}(n,p),
com esperança \mathbb{E}(X)=6 e variância \mathrm{Var}(X)=5,28. Vamos usar as fórmulas
\mathbb{E}(X)=np,
\mathrm{Var}(X)=np(1-p),
para encontrar p e, em seguida, calcular a probabilidade de não se infectar, que é 1-p.

Passo 2

Da esperança \mathbb{E}(X)=np=6, isolamos n:
n=\frac{6}{p}.

Passo 3

Substituindo n em \mathrm{Var}(X)=np(1-p)=5,28, vem
\frac{6}{p}\,p(1-p)=6(1-p)=5,28
1-p=\frac{5,28}{6}=0,88
p=1-0,88=0,12.

Passo 4

A probabilidade de não se infectar é
1-p=1-0,12=0,88.

Resposta

A probabilidade de não se infectar é 0,88.

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