Em um concurso, 2.048 candidatos prestam um exame em que são submetidos a 6 questões de múltipla escolha, cada uma com 4 alternativas, das quais apenas uma é correta. Um candidato passa para a segunda fase do concurso caso acerte, pelo menos, 4 questões.
Se todos os candidatos chutam as respostas, isto é, sempre escolhem ao acaso uma alternativa, determine o valor esperado do número de aprovados para a segunda fase.

Passo 1

O enunciado diz que há 2{,}048 candidatos, cada um responde 6 questões de múltipla escolha com 4 alternativas (apenas 1 correta) escolhendo ao acaso. Um candidato passa se acertar pelo menos 4 questões. O conteúdo aqui é variável aleatória binomial e valor esperado de soma de variáveis indicadoras.

Passo 2

Para cada candidato, seja X o número de acertos. Temos
X\sim \mathrm{Binomial}\bigl(n=6,\;p=\tfrac14\bigr)
e a probabilidade de passar é
p_{\text{pass}} = P(X\ge4) = \sum_{k=4}^{6} \binom{6}{k} \Bigl(\tfrac14\Bigr)^k \Bigl(\tfrac34\Bigr)^{6-k}.

Passo 3

Calculamos os termos:
\binom{6}{4}\Bigl(\tfrac14\Bigr)^4\Bigl(\tfrac34\Bigr)^2 = \frac{135}{4096},\quad \binom{6}{5}\Bigl(\tfrac14\Bigr)^5\Bigl(\tfrac34\Bigr)^1 = \frac{18}{4096},\quad \binom{6}{6}\Bigl(\tfrac14\Bigr)^6\Bigl(\tfrac34\Bigr)^0 = \frac{1}{4096}.
Somando,
p_{\text{pass}} = \frac{135+18+1}{4096} = \frac{154}{4096} = \frac{77}{2048}.

Passo 4

Sejam I_i as variáveis indicadoras de aprovação do candidato i. Como cada um tem probabilidade p_{\text{pass}}=77/2048 e há 2{,}048 candidatos, o valor esperado do número de aprovados é
E\Bigl(\sum_{i=1}^{2048} I_i\Bigr) = 2048 \times \frac{77}{2048} = 77.

Resposta

O valor esperado de aprovados é 77.

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