Acerca da integral iterada integral0^1 integralx^2^1 cos (y^1 / 2) d y d x, responda:
Calcule integral0^1 integralx^2^1 cos (y^1 / 2) d y d x. ( 20 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada:
integral0^1 integralx^2^1 cos (raizy) , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que geralmente envolvem calcular a área sob uma superfície. O conteúdo principal envolve cálculo de integrais iteradas e, possivelmente, troca de ordem de integração para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de substituição e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de a 1. Isso significa que estamos integrando sobre uma área onde está entre a parábola e a linha .

Passo 3

Às vezes, trocar a ordem de integração facilita o cálculo. Vamos tentar isso! Para trocar a ordem, precisamos determinar os limites de integral0^1 integral0^raizy cos(raizy) , dx , dy primeiro.
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 a (porque implica ).
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a integral0^raizy cos(raizy) , dx :
cos(raizy) cdot raizy
Como integral0^1 raizy cos(raizy) , dy é constante em relação a , a integral simplifica para:
Então, nossa integral agora é:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja integral0^1 raizy cos(raizy) , dy = integral0^1 u cos(u) cdot 2u , du = 2 integral0^1 u^2 cos(u) , du . Então:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, precisamos resolver integral u , dv = uv - integral v , du . Vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
u^2 sin(u) - integral sin(u) cdot 2u , du = u^2 sin(u) - 2 integral u sin(u) , du
Primeira vez:
Aplicando:

Passo 7

Agora, resolvemos -u cos(u) + integral cos(u) , du = -u cos(u) + sin(u) + C novamente por partes:
Aplicando:

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
u^2 sin(u) - 2(-u cos(u) + sin(u)) = u^2 sin(u) + 2u cos(u) - 2sin(u)
Multiplicando tudo por 2 conforme a substituição anterior:
2 integral u^2 cos(u) , du = 2( u^2 sin(u) + 2u cos(u) - 2sin(u) )
Avaliando de 0 a 1:
2(1^2 sin(1) + 2 cdot 1 cos(1) - 2 sin(1)) - 2(0 + 0 - 0) = 2(sin(1) + 2cos(1) - 2sin(1)) = 2(-sin(1) + 2cos(1))
Simplificando:
-2sin(1) + 4cos(1)

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
4 cos(1) - 2 sin(1)

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