Acerca da integral iterada
, responda:
Calcule
. ( 20 pontos)
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral iterada:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que geralmente envolvem calcular a área sob uma superfície. O conteúdo principal envolve cálculo de integrais iteradas e, possivelmente, troca de ordem de integração para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de substituição e integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
variando de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
a 1. Isso significa que estamos integrando sobre uma área onde
está entre a parábola
e a linha
.
Passo 3
Às vezes, trocar a ordem de integração facilita o cálculo. Vamos tentar isso! Para trocar a ordem, precisamos determinar os limites de
primeiro.
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de 0 a (porque implica ).
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
:
Como
é constante em relação a
, a integral simplifica para:
Então, nossa integral agora é:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja
. Então:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, precisamos resolver
. Vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Primeira vez:
-
→ -
→
Aplicando:
Passo 7
Agora, resolvemos
novamente por partes:
-
→ -
→
Aplicando:
Passo 8
Voltando à expressão anterior:
Multiplicando tudo por 2 conforme a substituição anterior:
Avaliando de 0 a 1:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: