Use o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos das funções
f(x, y)=x^3-2 y^2+4 x y+x-y+1

Passo 1

Vamos entender qual é o desafio aqui. A gente precisa usar o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{3} - 2 y^{2} + 4 x y + x - y + 1 $. Isso significa que primeiro vamos achar onde as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero — esses são os pontos candidatos a serem máximos, mínimos ou pontos de sela. Depois, com essas informações, vamos aplicar o teste da derivada segunda para descobrir a natureza de cada um desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
f
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
x
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
y
x

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de $ x $ e $ y $.
Da equação (2):
x
Agora, substituímos $ y = x - \frac{1}{4} $ na equação (1):
y
Fatorando:
-4y + 4x - 1 = 0 implies -4y = -4x + 1 implies y = x - 14
Agora, encontramos os valores de $ y $:
Para $ x = 0 $:
y = x - 14
Para $ x = -\frac{4}{3} $:
3x^2 + 4(x - 14) + 1 = 0 implies 3x^2 + 4x - 1 + 1 = 0 implies 3x^2 + 4x = 0
Então, os pontos críticos são $ (0, -\frac{1}{4}) $ e $ \left(-\frac{4}{3}, -\frac{19}{12}\right) $.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teste da derivada segunda para classificar esses pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -4
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 4
Também calculamos o discriminante $ D $:
D
Vamos avaliar $ D $ em cada ponto crítico.
Para $ (0, -\frac{1}{4}) $:
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2
D
(0, -14)
Então,
fxx = 6(0) = 0
Como $ D < 0 $, esse ponto é um ponto de sela.
Para $ \left(-\frac{4}{3}, -\frac{19}{12}\right) $:
fyy = -4
fxy = 4
D = 0 cdot (-4) - (4)^2 = 0 - 16 = -16
Então,
D < 0
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} = -8 < 0 $, esse ponto é um ponto de máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são $ (0, -\frac{1}{4}) $, que é um ponto de sela, e $ \left(-\frac{4}{3}, -\frac{19}{12}\right) $, que é um ponto de máximo local.

Exercícios relacionados