Use o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos das funções
Passo 1
Vamos entender qual é o desafio aqui. A gente precisa usar o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{3} - 2 y^{2} + 4 x y + x - y + 1 $. Isso significa que primeiro vamos achar onde as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero — esses são os pontos candidatos a serem máximos, mínimos ou pontos de sela. Depois, com essas informações, vamos aplicar o teste da derivada segunda para descobrir a natureza de cada um desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de $ x $ e $ y $.
Da equação (2):
Agora, substituímos $ y = x - \frac{1}{4} $ na equação (1):
Fatorando:
Agora, encontramos os valores de $ y $:
Para $ x = 0 $:
Para $ x = -\frac{4}{3} $:
Então, os pontos críticos são $ (0, -\frac{1}{4}) $ e $ \left(-\frac{4}{3}, -\frac{19}{12}\right) $.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teste da derivada segunda para classificar esses pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Também calculamos o discriminante $ D $:
Vamos avaliar $ D $ em cada ponto crítico.
Para $ (0, -\frac{1}{4}) $:
Então,
Como $ D < 0 $, esse ponto é um ponto de sela.
Para $ \left(-\frac{4}{3}, -\frac{19}{12}\right) $:
Então,
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} = -8 < 0 $, esse ponto é um ponto de máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são $ (0, -\frac{1}{4}) $, que é um ponto de sela, e $ \left(-\frac{4}{3}, -\frac{19}{12}\right) $, que é um ponto de máximo local.