O acetato ( \mathrm{CH}_{3} \mathrm{CO}_{2}{ }^{-}) é a base conjugada do ácido acético ( \mathrm{CH}_{3} \mathrm{CO}_{2} \mathrm{H} ). a) Qual é o valor de constante de dissociação básica ( K_{\mathrm{b}} ) do acetato? b) Qual é o pH de uma solução 0,100 \mathrm{moL} \mathrm{L}^{-1} de acetato de sódio \left(\mathrm{NaCH}_{3} \mathrm{CO}_{2}\right) ? c) Qual é o pH de uma solução 0,0088 \mathrm{moL} \mathrm{L}^{-1} de acetato de sódio?

Passo 1

O enunciado faz três perguntas claras:
  1. a) Qual é o valor da constante de dissociação básica K_{\mathrm{b}} do íon acetato \left(\mathrm{CH}_{3}\mathrm{CO}_{2}^-\right)?
  2. b) Qual é o pH de uma solução 0{,}100\\ \mathrm{moL\;L^{-1}} de acetato de sódio \left(\mathrm{NaCH}_{3}\mathrm{CO}_{2}\right)?
  3. c) Qual é o pH de uma solução 0{,}0088\\ \mathrm{moL\;L^{-1}} de acetato de sódio?
Informações relevantes fornecidas ou necessárias (assumidas como usuais para problemas a 25 °C):
\text{ácido conjugado: }\mathrm{CH}_{3}\mathrm{CO}_{2}\mathrm{H}á
\text{base conjugada: }\mathrm{CH}_{3}\mathrm{CO}_{2}^{-}
\text{constante de ionização ácida (assumida) }K_{\mathrm{a}}(\mathrm{CH_{3}CO_{2}H}) = 1{,}8\times 10^{-5}çãá
\text{produto iônico da água a 25 °C: }K_{\mathrm{w}} = 1{,}0\times 10^{-14}ôá
\text{concentrações iniciais a calcular: }C_1 = 0{,}100\\ \mathrm{mol\;L^{-1}},\quad C_2 = 0{,}0088\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}çõ
Observação: não havia no enunciado o valor de K_{\mathrm{a}}, então usei o valor padrão K_{\mathrm{a}}=1{,}8\times 10^{-5} (acético a 25 °C) e K_{\mathrm{w}}=1{,}0\times 10^{-14}.

Passo 2

Relação entre constantes de ácido e base conjugada.
Quando temos um par ácido-base conjugado \mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{A}^-, as constantes K_{\mathrm{a}} e K_{\mathrm{b}} se relacionam pelo produto iônico da água:
K_{\mathrm{a}}\cdot K_{\mathrm{b}} = K_{\mathrm{w}}
Isso decorre da multiplicação das expressões de equilíbrio do ácido e da base conjugada e do equilíbrio da água. Assim, para obter K_{\mathrm{b}} do acetato usamos:
K_{\mathrm{b}} = \frac{K_{\mathrm{w}}}{K_{\mathrm{a}}}

Passo 3

Cálculo numérico de K_{\mathrm{b}}.
Substituindo os valores assumidos:
K_{\mathrm{b}} = \frac{1{,}0\times 10^{-14}}{1{,}8\times 10^{-5}}
Agora fazemos a divisão passo a passo. Dividindo as mantissas e subtraindo os expoentes:
\frac{1{,}0}{1{,}8} \approx 0{,}5556
10^{-14} \div 10^{-5} = 10^{-9}
Portanto
K_{\mathrm{b}} \approx 0{,}5556\times 10^{-9} = 5{,}56\times 10^{-10}

Passo 4

Montagem do equilíbrio de hidrólise para o acetato em água e expressão de K_{\mathrm{b}}.
Reação de hidrólise da base conjugada:
\mathrm{CH_{3}CO_{2}^{-}} + \mathrm{H_{2}O} \rightleftharpoons \mathrm{CH_{3}CO_{2}H} + \mathrm{OH^{-}}
Se a concentração inicial da base for C e a extensão da reação for x, as concentrações no equilíbrio são:
[\mathrm{CH_{3}CO_{2}^{-}}] = C - x
[\mathrm{CH_{3}CO_{2}H}] = x
[\mathrm{OH^{-}}] = x
A expressão para K_{\mathrm{b}} é
K_{\mathrm{b}} = \frac{[\mathrm{CH_{3}CO_{2}H}]\,[\mathrm{OH^{-}}]}{[\mathrm{CH_{3}CO_{2}^{-}}]} = \frac{x\cdot x}{C-x} = \frac{x^{2}}{C-x}

Passo 5

Aproximação usual: se x\ll C então C-x\approx C e
x \approx \sqrt{K_{\mathrm{b}}\,C}
Vamos aplicar isso para C_1 = 0{,}100\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}. Primeiro calculamos o produto:
K_{\mathrm{b}}\cdot C_1 = 5{,}56\times 10^{-10}\times 0{,}100 = 5{,}56\times 10^{-11}
Agora a raiz quadrada:
x_1 \approx \sqrt{5{,}56\times 10^{-11}} \approx 7{,}46\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
Esse x_1 é a concentração de \mathrm{OH^{-}} gerada. Verificamos a hipótese x_1\ll C_1:
\frac{x_1}{C_1} = \frac{7{,}46\times 10^{-6}}{0{,}100} = 7{,}46\times 10^{-5}\\ ( \ll 0{,}05 )
Aproximação válida.

Passo 6

Cálculo de pOH e pH para C_1.
Definições:
\mathrm{pOH} = -\log_{10}[\mathrm{OH^{-}}]
\mathrm{pH} = 14{,}00 - \mathrm{pOH}
Aplicando para x_1 = 7{,}46\times 10^{-6}:
\mathrm{pOH}_1 = -\log_{10}\left(7{,}46\times 10^{-6}\right)
Usando propriedades de log:
\log_{10}\left(7{,}46\times 10^{-6}\right) = \log_{10}(7{,}46) + \log_{10}(10^{-6}) \approx 0{,}873 - 6 = -5{,}127
Portanto
\mathrm{pOH}_1 \approx 5{,}127
e então
\mathrm{pH}_1 \approx 14{,}00 - 5{,}127 = 8{,}873

Passo 7

Repetimos o processo para C_2 = 0{,}0088\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Calculamos o produto:
K_{\mathrm{b}}\cdot C_2 = 5{,}56\times 10^{-10}\times 0{,}0088 = 4{,}89\times 10^{-12}
Raiz quadrada:
x_2 \approx \sqrt{4{,}89\times 10^{-12}} \approx 2{,}21\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
Verificação da aproximação:
\frac{x_2}{C_2} = \frac{2{,}21\times 10^{-6}}{0{,}0088} \approx 2{,}51\times 10^{-4}\\ ( \ll 0{,}05 )
Aproximação válida.

Passo 8

Cálculo de pOH e pH para C_2.
\mathrm{pOH}_2 = -\log_{10}\left(2{,}21\times 10^{-6}\right)
\log_{10}\left(2{,}21\times 10^{-6}\right) = \log_{10}(2{,}21) - 6 \approx 0{,}344 - 6 = -5{,}656
Logo
\mathrm{pOH}_2 \approx 5{,}656
e
\mathrm{pH}_2 \approx 14{,}00 - 5{,}656 = 8{,}344

Resposta

a) K_{\mathrm{b}} \approx 5{,}56\times 10^{-10}\n
b) \mathrm{pH} \approx 8{,}87\n
c) \mathrm{pH} \approx 8{,}34

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