A piridina \left(\mathrm{C}_{5} \mathrm{H}_{5} \mathrm{~N}\right) é uma base fraca de K_{\mathrm{b}}=1,7 \times 10^{-9}. a) Qual é a concentração de \mathrm{OH}^{-}em uma solução 0,125 \mathrm{moL} \mathrm{L}^{-1} de \mathrm{C}_{5} \mathrm{H}_{5} \mathrm{~N} ? b) Qual é a concentração de \mathrm{H}^{+}em uma solução 0,125 \mathrm{moL} \mathrm{L}^{-1} de \mathrm{C}_{5} \mathrm{H}_{5} \mathrm{~N} ? c) Qual é o pH da solução da questão (b)? d) Qual é pH de uma solução 0,00500 \mathrm{moL} \mathrm{L}{ }^{-1} de \mathrm{C}_{5} \mathrm{H}_{5} \mathrm{~N} ?

Passo 1

O enunciado dá que a piridina \left(\mathrm{C}_{5}\mathrm{H}_{5}\mathrm{N}\right) é uma base fraca com constante de basicidade \;K_{\mathrm{b}}=1{,}7\times10^{-9}. Perguntas:
a) Qual é a concentração de \mathrm{OH}^{-} em uma solução de concentração inicial \;0{,}125\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} de piridina?
b) Qual é a concentração de \mathrm{H}^{+} nessa mesma solução de \;0{,}125\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}?
c) Qual é o pH da solução da questão (b)?
d) Qual é o pH de uma solução de piridina com concentração inicial \;0{,}00500\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}?
Informações relevantes que temos: a base fraca se ioniza parcialmente na água segundo uma reação ácido-base e vale a relação de equilíbrio com K_{\mathrm{b}}. Para converter entre \mathrm{OH}^{-} e \mathrm{H}^{+} usamos o produto iônico da água \;K_{\mathrm{w}}=1{,}0\times10^{-14} 25^\circ\mathrm{C}). Vamos trabalhar com aproximações usuais para bases fracas e checar se são válidas.

Passo 2

Escrevendo a reação de ionização da base (piridina B) em água:
B + H_{2}O \rightleftharpoons BH^{+} + OH^{-}
Definimos as concentrações no equilíbrio usando uma incógnita x que representa [\mathrm{OH}^{-}] formado:
\begin{array}{l} \text{inicial: } [B]=C,\;[BH^{+}]=0,\;[OH^{-}]=0\\[4pt] \text{variação: } [B]=C-x,\;[BH^{+}]=x,\;[OH^{-}]=x\\[4pt] \text{equilíbrio: } [B]=C-x,\;[BH^{+}]=x,\;[OH^{-}]=x \end{array}çãí
A expressão da constante de basicidade é
K_{\mathrm{b}}=\dfrac{[BH^{+}][OH^{-}]}{[B]}=\dfrac{x\cdot x}{C-x}=\dfrac{x^{2}}{C-x}.
Aqui C é a concentração inicial da base (por exemplo 0{,}125\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}) e x é [\mathrm{OH}^{-}] no equilíbrio.]

Passo 3

Para bases fracas normalmente fazemos a aproximação x\ll C, então C-x\approx C. Assim obtemos a fórmula aproximada prática:
x\approx\sqrt{K_{\mathrm{b}}\,C}.
Vou usar essa fórmula e depois verificar se a aproximação é válida (checando \dfrac{x}{C} em %).
Explico rapidamente por que isso funciona: a equação exata é uma quadrática x^{2}+K_{\mathrm{b}}x-K_{\mathrm{b}}C=0. Quando x é muito menor que C, o termo -K_{\mathrm{b}}x na equação reduz-se, levando à forma simples x^{2}\approx K_{\mathrm{b}}C, daí x\approx\sqrt{K_{\mathrm{b}}C}.

Passo 4

Dados: K_{\mathrm{b}}=1{,}7\times10^{-9} e C=0{,}125\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Calculemos o produto:
K_{\mathrm{b}}\,C = 1{,}7\times10^{-9}\times0{,}125 = 2{,}125\times10^{-10}.
Agora a raiz quadrada:
x=\sqrt{2{,}125\times10^{-10}}=\sqrt{2{,}125}\times10^{-5}\approx1{,}458\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Portanto [\mathrm{OH}^{-}]\approx1{,}46\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} (arredondando mantemos algarismos significativos compatíveis).
Verificação da aproximação: \dfrac{x}{C}=\dfrac{1{,}458\times10^{-5}}{0{,}125}=1{,}166\times10^{-4}=0{,}0116\%, muito menor que 5\%. A aproximação x\ll C é válida.

Passo 5

Usamos o produto iônico da água \;K_{\mathrm{w}}=[H^{+}][OH^{-}]=1{,}0\times10^{-14} 25^\circ\mathrm{C}). Assim,
[H^{+}]=\dfrac{K_{\mathrm{w}}}{[OH^{-}]}=\dfrac{1{,}0\times10^{-14}}{1{,}458\times10^{-5}}\approx6{,}855\times10^{-10}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 6

Definição de pH:
\mathrm{pH}=-\log_{10}[H^{+}].
Calculando:
\mathrm{pH}=-\log_{10}\left(6{,}855\times10^{-10}\right)\approx9{,}16.
Alternativamente podemos calcular pOH e usar \mathrm{pH}=14-\mathrm{pOH}:
\mathrm{pOH}=-\log_{10}[OH^{-}]\approx -\log_{10}(1{,}458\times10^{-5})\approx4{,}84,
\mathrm{pH}=14-4{,}84=9{,}16,
mesmo resultado (diferença em arredondamento muito pequena).

Passo 7

Agora com C=0{,}00500\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Usamos novamente a aproximação x\approx\sqrt{K_{\mathrm{b}}C}:
K_{\mathrm{b}}\,C = 1{,}7\times10^{-9}\times0{,}00500 = 8{,}50\times10^{-12}.
[OH^{-}]=x\approx\sqrt{8{,}50\times10^{-12}}=\sqrt{8{,}50}\times10^{-6}\approx2{,}916\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Verificação da aproximação: \dfrac{x}{C}=\dfrac{2{,}916\times10^{-6}}{0{,}00500}=5{,}83\times10^{-4}=0{,}0583\%, muito menor que 5\%, logo válida.
Calculamos a \mathrm{pOH} e a \mathrm{pH}:
\mathrm{pOH}=-\log_{10}(2{,}916\times10^{-6})\approx5{,}535,
\mathrm{pH}=14-\mathrm{pOH}\approx14-5{,}535=8{,}465\approx8{,}46.

Resposta

a) [\mathrm{OH}^{-}]=1{,}46\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
b) [\mathrm{H}^{+}]=6{,}86\times10^{-10}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
c) \mathrm{pH}=9{,}16
d) \mathrm{pH}=8{,}46

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