Se A=i-2 j-3 k e B=2 i+j-k e C=i+3 j-2 k, achar:
(A times B) times(B times C)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
A = i - 2j - 3k, B = 2i + j - k, C = i + 3j - 2k,
e pede (AtimesB)times(BtimesC). O conteúdo principal é o uso da identidade do produto vetorial duplo e do produto escalar.

Passo 2

Aplicamos a identidade vetorial
Xtimes(YtimesZ) =Y,(XcdotZ)-Z,(XcdotY)
Aqui tomamos X=AtimesB, Y=B e Z=C. Logo
(AtimesB)times(BtimesC) =B,l((AtimesB)cdotCr) -C,l((AtimesB)cdotBr)
Mas (AtimesB)cdotB=0 pois AtimesB é perpendicular a B. Assim
(AtimesB)times(BtimesC) =B,l((AtimesB)cdotCr)

Passo 3

Reconhecemos (AtimesB)cdotC como o produto misto [A,B,C], dado pelo determinante
1 & -2 & -3 2 & 1 & -1 1 & 3 & -2
Calculando:
1cdotl(1cdot(-2)-(-1)cdot3r) -(-2)cdotl(2cdot(-2)-(-1)cdot1r) +(-3)cdotl(2cdot3-1cdot1r) =1-6-15=-20
Logo (AtimesB)cdotC=-20.

Passo 4

Substituindo no resultado do passo 2,
(AtimesB)times(BtimesC) =-20,B =-20,(2i+j-k) =-40i-20j+20k

Resposta

-40i-20j+20k

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