Se phi(x, y, z)=3 x^2 y-y^3 z^2, achar nabla phi ou ( grad phi ) no ponto ( 1,-2,1 ).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
phi(x,y,z)=3x^2y - y^3z^2
e pede o gradiente nablaphi no ponto (1,-2,1).
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais para formar o vetor gradiente, usando a definição
nablaphi=(partialphi/partial x,;partialphi/partial y,;partialphi/partial z).

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de phi em relação a x, tratando y e z como constantes:
partial phipartial x =partialpartial x(3x^2y) - partialpartial x(y^3z^2) =6xy - 0 =6xy

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de phi em relação a y, tratando x e z como constantes:
partial phipartial y =partialpartial y(3x^2y) - partialpartial y(y^3z^2) =3x^2 - 3y^2z^2

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de phi em relação a z, tratando x e y como constantes:
partial phipartial z =partialpartial z(3x^2y) - partialpartial z(y^3z^2) =0 - 2y^3z =-2y^3z

Passo 5

Agora avaliamos cada componente em (x,y,z)=(1,-2,1):
partial phipartial x(1,-2,1)=6cdot1cdot(-2)=-12, partial phipartial y(1,-2,1)=3cdot1^2 - 3cdot(-2)^2cdot1^2=3-12=-9, partial phipartial z(1,-2,1)=-2cdot(-2)^3cdot1=16

Resposta

nablaphi(1,-2,1)=(-12,,-9,,16)

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