Achar o ângulo entre as superfícies x^2+y^2+z^2=9 e z=x^2+y^2-3 no ponto (2,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre as superfícies
x^2+y^2+z^2=9
e
z = x^2+y^2-3
no ponto (2,-1,2). Para isso, vamos usar que o ângulo entre duas superfícies é o mesmo ângulo entre seus vetores normais, dados pelos gradientes das funções implícitas.

Passo 2

Definimos
F1(x,y,z) = x^2+y^2+z^2-9
para a primeira superfície. O vetor normal é
nabla F1 = l(2x,,2y,,2zr)
Em (2,-1,2) isso vale
nabla F1(2,-1,2) = (4,,-2,,4)

Passo 3

Definimos
F2(x,y,z) = x^2+y^2 - z -3
para a segunda superfície. O vetor normal é
nabla F2 = l(2x,,2y,,-1r)
Em (2,-1,2) isso vale
nabla F2(2,-1,2) = (4,,-2,,-1)

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
nabla F1cdotnabla F2 = 4cdot4 + (-2)cdot(-2) + 4cdot(-1) = 16 + 4 -4 = 16,
lvertnabla F1rvert = raiz4^2 + (-2)^2 + 4^2 = raiz36 = 6,
lvertnabla F2rvert = raiz4^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz21

Passo 5

O cosseno do ângulo phi entre os normais é
cosphi = nabla F1cdotnabla F2lvertnabla F1rvert,lvertnabla F2rvert = 166raiz21 = 83raiz21
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phi = arccos!l(83raiz21r)

Resposta

phi = arccos!l(83raiz21r)

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