Achar a equação do plano tangente a superfície: x^2-y^2=4 z no ponto (3,1,2).

Passo 1

O enunciado quer a equação do plano tangente à superfície implícita definida por
x^2-y^2=4z
no ponto (3,1,2).
Conteúdo: derivadas parciais de superfícies implícitas, gradiente e equação de plano tangente.

Passo 2

Definimos a função
F(x,y,z)=x^2-y^2-4z,
de modo que a superfície é o nível F(x,y,z)=0. Para encontrar o plano tangente usamos o gradiente de F.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F:
Fx=partialpartial x(x^2-y^2-4z)=2x,
Fy=partialpartial y(x^2-y^2-4z)=-2y,
Fz=partialpartial z(x^2-y^2-4z)=-4
Logo,
nabla F(x,y,z)=(2x,,-2y,,-4)

Passo 4

Avaliamo o gradiente no ponto (3,1,2):
nabla F(3,1,2)=(2cdot3,,-2cdot1,,-4)=(6,,-2,,-4)

Passo 5

A equação do plano tangente vem de
nabla F(3,1,2)cdotl((x,y,z)-(3,1,2)r)=0
Isto é,
6(x-3)-2(y-1)-4(z-2)=0
Expandindo e simplificando:
6x-18-2y+2-4z+8=0 Rightarrow 6x-2y-4z-8=0
Dividindo tudo por 2:
3x - y - 2z - 4 = 0

Resposta

A equação do plano tangente é
3x - y - 2z - 4 = 0

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