Se A=x^2 y i-2 x z j+2 y z k, achar nabla times(nabla times A) ou (rot rot A), no ponto:
(1,-2,3).

Passo 1

O enunciado pede nablatimes(nablatimesA) para
A=x^2y,i-2xz,j+2yz,k
no ponto (1,-2,3). Esse conteúdo é de cálculo vetorial e usaremos a identidade
nablatimes(nablatimesA)=nablal(nablacdotAr)-nabla^2A,

Passo 2

Calcular a divergência nablacdotA. Pela definição,
nablacdotA =partialpartial x(x^2y) +partialpartial y(-2xz) +partialpartial z(2yz) =2xy+0+2y =2y(x+1),

Passo 3

Calcular o gradiente da divergência nabla(nablacdotA).
Como nablacdotA=2y(x+1),
nablal(nablacdotAr) =l(partialx[2y(x+1)],,partialy[2y(x+1)],,partialz[2y(x+1)]r) =(2y,,2(x+1),,0),

Passo 4

Calcular o Laplaciano vetorial nabla^2A componente a componente.
Para Ax=x^2y:
nabla^2(x^2y)=partial^2partial x^2(x^2y)=2y,,
para Ay=-2xz e Az=2yz cada segunda derivada é zero, logo
nabla^2A=(2y,,0,,0),

Passo 5

Aplicar a identidade
nablatimes(nablatimesA) =nabla(nablacdotA)-nabla^2A =(2y,,2(x+1),,0)-(2y,,0,,0) =(0,,2(x+1),,0),

Passo 6

Avaliar em (1,-2,3): substituindo x=1 obtemos
(0,,2(1+1),,0)=(0,,4,,0),

Resposta

(0,4,0)

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