Se A=(2 x^2 y-x^4) i+(e^x y-y sen x) j+(x^2 cos y) k, achar:
partial^2 Apartial y partial x

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
A(x,y,z)=l(2x^2y - x^4r),i + l(e^xy - ysen xr),j + l(x^2cos yr),k
e pede a derivada mista
partial^2Apartial y,partial x.
O conteúdo aqui é derivada parcial de campo vetorial: a gente deriva cada componente em x e depois em y.

Passo 2

Primeiro calculamos
partial Apartial x
componete a componente, usando regra do produto e soma:
partial Apartial x = (4xy - 4x^3),i + l(y,e^xy - ycos xr),j + l(2xcos yr),k

Passo 3

Agora derivamos cada uma dessas componentes em relação a y:
Para o componente i:
partialy(4xy - 4x^3) = 4x
Para o componente j:
partialyl(y,e^xy - ycos xr) = e^xy + xy,e^xy ;-;cos x = e^xy(1+xy);-;cos x
Para o componente k:
partialy(2xcos y) = -2xsin y

Passo 4

Juntando tudo, a derivada mista fica
partial^2Apartial y,partial x = (4x),i + l(e^xy(1+xy) - cos xr),j + l(-2xsin yr),k

Resposta

partial^2Apartial y,partial x = 4x,i + l(e^xy(1+xy)-cos xr),j - 2xsin y,k

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