Achar aproximações para a solução dos problemas de PVI abaixo para \mathrm{h}=0,1.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=x-y+2 \\\ y(0)=2\end{array}\right. na malha de [ 0,1 ]

Passo 1

O enunciado pede: aproximar a solução do problema de valor inicial
\begin{cases} y' = x - y + 2,\\[4pt] y(0)=2, \end{cases}
na malha do intervalo [0,1] com passo \mathrm{h}=0,1. Dado isso, temos as informações relevantes:
\text{malha: } x_n = 0,\,0,1,\,0,2,\,\dots,\,1, \quad \mathrm{h}=0,1,
e a condição inicial y(0)=2. A tarefa é fornecer aproximações y_n para y(x_n) em cada nó da malha.]

Passo 2

Escolhendo o método: como o enunciado não exige um método específico e você está estudando para prova, vamos usar o método de Euler explícito (o método mais básico e frequentemente solicitado em provas). Ele é simples de aplicar à mão e mostra bem a ideia de discretização por retas tangentes. Se o professor exigir outro método (Heun, Runge–Kutta), o procedimento seria diferente, mas Euler é suficiente aqui para obter aproximações e praticar cálculo manual.

Passo 3

Explicando o método de Euler explicando passo a passo:
  • Para uma EDO y' = f(x,y) com y(x_0)=y_0 e passo h, o método de Euler usa a aproximação da solução pela reta tangente em cada nó. A fórmula recursiva é
y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n).
  • Aqui f(x,y)=x-y+2. As variáveis significam: x_n é a abscissa do n-ésimo nó, y_n é a aproximação de y(x_n), e h é o tamanho do passo entre nós.
  • O raciocínio heurístico: y(x_{n+1}) \approx y(x_n) + (x_{n+1}-x_n)\,y'(x_n), e como y'(x_n)=f(x_n,y(x_n)), substituímos y(x_n) por y_n para obter a fórmula acima.

Passo 4

Preparando a malha e dados iniciais:
  • h=0,1. O número de passos para ir de 0 a 1 é N=\dfrac{1-0}{0,1}=10.
  • Nós: x_0=0,\; x_1=0,1,\; x_2=0,2,\; \dots,\; x_{10}=1.
  • Condição inicial: y_0=2.
  • Fórmula específica para este problema:
y_{n+1} = y_n + 0,1\bigl(x_n - y_n + 2\bigr).
Vou calcular os y_n iterativamente, guardando várias casas decimais para reduzir erro de arredondamento (você pode arredondar depois, conforme pedido da prova).

Passo 5

Iteração n=0 \to 1:
x_0=0,\quad y_0=2.
Calcula-se f(x_0,y_0)=x_0-y_0+2=0-2+2=0.
Então
y_1 = y_0 + 0,1\cdot 0 = 2.

Passo 6

Iteração n=1 \to 2:
x_1=0,1,\quad y_1=2.
f(x_1,y_1)=0,1-2+2=0,1.
y_2 = 2 + 0,1\cdot 0,1 = 2 + 0,01 = 2,01.

Passo 7

Iteração n=2 \to 3:
x_2=0,2,\quad y_2=2,01.
f(x_2,y_2)=0,2-2,01+2=0,19.
y_3 = 2,01 + 0,1\cdot 0,19 = 2,01 + 0,019 = 2,029.

Passo 8

Iteração n=3 \to 4:
x_3=0,3,\quad y_3=2,029.
f(x_3,y_3)=0,3-2,029+2=0,271.
y_4 = 2,029 + 0,1\cdot 0,271 = 2,029 + 0,0271 = 2,0561.

Passo 9

Iteração n=4 \to 5:
x_4=0,4,\quad y_4=2,0561.
f(x_4,y_4)=0,4-2,0561+2=0,3439.
y_5 = 2,0561 + 0,1\cdot 0,3439 = 2,0561 + 0,03439 = 2,09049.

Passo 10

Iteração n=5 \to 6:
x_5=0,5,\quad y_5=2,09049.
f(x_5,y_5)=0,5-2,09049+2=0,40951.
y_6 = 2,09049 + 0,1\cdot 0,40951 = 2,09049 + 0,040951 = 2,131441.

Passo 11

Iteração n=6 \to 7:
x_6=0,6,\quad y_6=2,131441.
f(x_6,y_6)=0,6-2,131441+2=0,468559.
y_7 = 2,131441 + 0,1\cdot 0,468559 = 2,131441 + 0,0468559 = 2,1782969.

Passo 12

Iteração n=7 \to 8:
x_7=0,7,\quad y_7=2,1782969.
f(x_7,y_7)=0,7-2,1782969+2=0,5217031.
y_8 = 2,1782969 + 0,1\cdot 0,5217031 = 2,1782969 + 0,05217031 = 2,23046721.

Passo 13

Iteração n=8 \to 9:
x_8=0,8,\quad y_8=2,23046721.
f(x_8,y_8)=0,8-2,23046721+2=0,56953279.
y_9 = 2,23046721 + 0,1\cdot 0,56953279 = 2,23046721 + 0,056953279 = 2,287420489.

Passo 14

Iteração n=9 \to 10:
x_9=0,9,\quad y_9=2,287420489.
f(x_9,y_9)=0,9-2,287420489+2=0,612579511.
y_{10} = 2,287420489 + 0,1\cdot 0,612579511 = 2,287420489 + 0,0612579511 = 2,3486784401.

Passo 15

Comentário final e verificação (útil para estudo): podemos encontrar a solução exata da EDO linear para comparar e ter noção do erro. Resolvendo
y'+y = x+2
por fator integrante obtemos a solução exata
y(x) = x+1 + C e^{-x}.
Usando y(0)=2 C=1, logo
y(x) = x+1 + e^{-x}.
Em particular y(1)=1+1+e^{-1}=2 + e^{-1}\approx 2,3678794412. Nossa aproximação por Euler em x=1 foi y_{10}\approx 2,3486784401, de modo que o erro global aproximado em x=1 é
\text{erro}\approx 2,3678794412 - 2,3486784401 \approx 0,0192010011.
Isso mostra que Euler com h=0,1 já dá uma aproximação razoável, mas não perfeita; para maior acurácia usar passos menores ou métodos de ordem superior.

Resposta

x_0=0,\; y_0=2
x_1=0,1,\; y_1=2
x_2=0,2,\; y_2=2,01
x_3=0,3,\; y_3=2,029
x_4=0,4,\; y_4=2,0561
x_5=0,5,\; y_5=2,09049
x_6=0,6,\; y_6=2,131441
x_7=0,7,\; y_7=2,1782969
x_8=0,8,\; y_8=2,23046721
x_9=0,9,\; y_9=2,287420489
x_{10}=1,0,\; y_{10}=2,3486784401

Exercícios relacionados