Achar aproximações para a solução dos problemas de PVI abaixo para
.
na malha de [ 0,1 ]
Passo 1
O enunciado pede: aproximar a solução do problema de valor inicial
na malha do intervalo
com passo
. Dado isso, temos as informações relevantes:
e a condição inicial
. A tarefa é fornecer aproximações
para
em cada nó da malha.]
Passo 2
Escolhendo o método: como o enunciado não exige um método específico e você está estudando para prova, vamos usar o método de Euler explícito (o método mais básico e frequentemente solicitado em provas). Ele é simples de aplicar à mão e mostra bem a ideia de discretização por retas tangentes. Se o professor exigir outro método (Heun, Runge–Kutta), o procedimento seria diferente, mas Euler é suficiente aqui para obter aproximações e praticar cálculo manual.
Passo 3
Explicando o método de Euler explicando passo a passo:
- Para uma EDO
com e passo , o método de Euler usa a aproximação da solução pela reta tangente em cada nó. A fórmula recursiva é
- Aqui
. As variáveis significam: é a abscissa do -ésimo nó, é a aproximação de , e é o tamanho do passo entre nós. - O raciocínio heurístico:
, e como , substituímos por para obter a fórmula acima.
Passo 4
Preparando a malha e dados iniciais:
-
. O número de passos para ir de a é . - Nós:
. - Condição inicial:
. - Fórmula específica para este problema:
Vou calcular os
iterativamente, guardando várias casas decimais para reduzir erro de arredondamento (você pode arredondar depois, conforme pedido da prova).
Passo 5
Iteração
:
Calcula-se
.
Então
Então
Passo 6
Iteração
:
Passo 7
Iteração
:
Passo 8
Iteração
:
Passo 9
Iteração
:
Passo 10
Iteração
:
Passo 11
Iteração
:
Passo 12
Iteração
:
Passo 13
Iteração
:
Passo 14
Iteração
:
Passo 15
Comentário final e verificação (útil para estudo): podemos encontrar a solução exata da EDO linear para comparar e ter noção do erro. Resolvendo
por fator integrante obtemos a solução exata
Usando
dá
, logo
Em particular
. Nossa aproximação por Euler em
foi
, de modo que o erro global aproximado em
é
Isso mostra que Euler com
já dá uma aproximação razoável, mas não perfeita; para maior acurácia usar passos menores ou métodos de ordem superior.