Sejam x_{0}=-1, x_{1}=0, x_{2}=1 \mathrm{e} y_{0}= último dígito da sua matrícula y_{1}=-0 penúltimo dígito da sua matrícula
y_{2}=-2
Determine o polinômio f(x) que interpola \left(x_{0}, y_{0}\right),\left(x_{1}, y_{1}\right) e \left(x_{2}, y_{2}\right) usando a forma de:
a) Vandermonde
b) Lagrange
Passo 1
O enunciado dá três pontos de interpolação. Como não me foi fornecida a sua matrícula, vou usar letras para os dígitos pedidos: seja a o último dígito da sua matrícula e seja b o penúltimo dígito da sua matrícula. Então as coordenadas são:
O objetivo é encontrar o polinômio f(x) de grau no máximo 2 que passa por esses três pontos, usando (a) a forma de Vandermonde e (b) a forma de Lagrange.
Passo 2
Vamos primeiro usar Vandermonde. A ideia é procurar um polinômio de grau \le 2
f(x)=c_0+c_1 x+c_2 x^2,
e impor que f(x_i)=y_i para i=0,1,2. Substituindo os pontos obtemos o sistema lineares nas incógnitas c_0,c_1,c_2.
Passo 3
Escrevendo as equações uma a uma:
para x_0=-1,\\ y_0=a:
c_0 - c_1 + c_2 = a.
para x_1=0,\\ y_1=-b:
c_0 = -b.
para x_2=1,\\ y_2=-2:
c_0 + c_1 + c_2 = -2.
Aqui está a matriz de Vandermonde e o sistema na forma matricial (só para referência):
Eu posso também reescrever o coeficiente de x como -\dfrac{a+2}{2}, se preferir.
Passo 7
Agora vamos usar Lagrange. A forma de Lagrange constrói f como combinação dos valores y_i e dos polinômios base L_i(x) tais que L_i(x_j)=\delta_{ij} (1 quando i=j, 0 caso contrário). Para três pontos x_0,x_1,x_2,
L_i(x)=\prod_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j},
e
f(x)=\sum_{i=0}^{2} y_i\,L_i(x).
Passo 8
Vamos calcular os L_i para x_0=-1,x_1=0,x_2=1 explicitamente.