Sejam x_{0}=-1, x_{1}=0, x_{2}=1 \mathrm{e}
y_{0}= último dígito da sua matrícula
y_{1}=-0 penúltimo dígito da sua matrícula
y_{2}=-2
Determine o polinômio f(x) que interpola
\left(x_{0}, y_{0}\right),\left(x_{1}, y_{1}\right) e \left(x_{2}, y_{2}\right) usando a forma de:
a) Vandermonde
b) Lagrange

Passo 1

O enunciado dá três pontos de interpolação. Como não me foi fornecida a sua matrícula, vou usar letras para os dígitos pedidos: seja a o último dígito da sua matrícula e seja b o penúltimo dígito da sua matrícula. Então as coordenadas são:
(x_0,y_0)=(-1,a),\qquad (x_1,y_1)=(0,-b),\qquad (x_2,y_2)=(1,-2).
O objetivo é encontrar o polinômio f(x) de grau no máximo 2 que passa por esses três pontos, usando (a) a forma de Vandermonde e (b) a forma de Lagrange.

Passo 2

Vamos primeiro usar Vandermonde. A ideia é procurar um polinômio de grau \le 2
f(x)=c_0+c_1 x+c_2 x^2,
e impor que f(x_i)=y_i para i=0,1,2. Substituindo os pontos obtemos o sistema lineares nas incógnitas c_0,c_1,c_2.

Passo 3

Escrevendo as equações uma a uma:
para x_0=-1,\\ y_0=a:
c_0 - c_1 + c_2 = a.
para x_1=0,\\ y_1=-b:
c_0 = -b.
para x_2=1,\\ y_2=-2:
c_0 + c_1 + c_2 = -2.
Aqui está a matriz de Vandermonde e o sistema na forma matricial (só para referência):
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}c_0\\[3pt] c_1\\[3pt] c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\\[3pt] -b\\[3pt] -2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora resolvemos o sistema de forma direta, aproveitando que já temos c_0 da segunda equação:
c_0 = -b.
Substituímos c_0 nas outras duas equações:
-b - c_1 + c_2 = a,
-b + c_1 + c_2 = -2.
Subtraindo a primeira dessas duas da segunda para eliminar c_2:
(-b + c_1 + c_2) - (-b - c_1 + c_2) = -2 - a,
o que dá
2c_1 = -2 - a \quad\Rightarrow\quad c_1 = \frac{-2-a}{2} = -\frac{a+2}{2}.

Passo 5

Agora encontramos c_2 usando, por exemplo, c_0 + c_1 + c_2 = -2:
c_2 = -2 - c_0 - c_1.
Substituindo c_0=-b e c_1=\dfrac{-2-a}{2}:
c_2 = -2 - (-b) - \frac{-2-a}{2} = -2 + b + \frac{2+a}{2}.
Colocando sobre denominador comum 2:
c_2 = \frac{-4 + 2b + 2 + a}{2} = \frac{2b + a -2}{2}.

Passo 6

Portanto, pelo método de Vandermonde (i.e. resolvendo o sistema para os coeficientes) obtemos o polinômio
f(x)=c_0+c_1 x+c_2 x^2 = -b \;+\; \frac{-2-a}{2}\,x \;+\; \frac{2b + a -2}{2}\,x^2.
Eu posso também reescrever o coeficiente de x como -\dfrac{a+2}{2}, se preferir.

Passo 7

Agora vamos usar Lagrange. A forma de Lagrange constrói f como combinação dos valores y_i e dos polinômios base L_i(x) tais que L_i(x_j)=\delta_{ij} (1 quando i=j, 0 caso contrário). Para três pontos x_0,x_1,x_2,
L_i(x)=\prod_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j},
e
f(x)=\sum_{i=0}^{2} y_i\,L_i(x).

Passo 8

Vamos calcular os L_i para x_0=-1,x_1=0,x_2=1 explicitamente.
Para i=0 (ponto -1):
L_0(x)=\frac{x-0}{-1-0}\cdot\frac{x-1}{-1-1} = \frac{x}{-1}\cdot\frac{x-1}{-2} = \frac{x(x-1)}{2}.
Para i=1 (ponto 0):
L_1(x)=\frac{x-(-1)}{0-(-1)}\cdot\frac{x-1}{0-1} = (x+1)\cdot\frac{x-1}{-1} = 1 - x^2.
(Observe que (x+1)(x-1)=x^2-1, com o sinal negativo dá 1-x^2.)
Para i=2 (ponto 1):
L_2(x)=\frac{x-(-1)}{1-(-1)}\cdot\frac{x-0}{1-0} = \frac{x+1}{2}\cdot x = \frac{x(x+1)}{2}.

Passo 9

Agora montamos f(x) pela soma ponderada:
f(x)=y_0 L_0(x)+y_1 L_1(x)+y_2 L_2(x).
Substituindo y_0=a,\\ y_1=-b,\\ y_2=-2 e os L_i calculados:
f(x)= a\cdot\frac{x(x-1)}{2}\;+\;(-b)\cdot(1-x^2)\;+\;(-2)\cdot\frac{x(x+1)}{2}.

Passo 10

Para verificar que coincide com a forma obtida por Vandermonde, expandimos a forma de Lagrange passo a passo:
a\cdot\frac{x(x-1)}{2}=\frac{a}{2}x^2-\frac{a}{2}x,
(-b)(1-x^2)=-b + b x^2,
(-2)\cdot\frac{x(x+1)}{2}=-x^2 - x.
Somando os termos semelhantes:
constante: -b.
coeficiente de x: -\dfrac{a}{2}-1 = -\dfrac{a+2}{2}.
coeficiente de x^2: \dfrac{a}{2}+b-1 = \dfrac{2b+a-2}{2}.
Assim obtemos exatamente
f(x) = -b \;-\; \frac{a+2}{2}\,x \;+\; \frac{2b + a -2}{2}\,x^2,
que é a mesma expressão que encontramos antes.

Resposta

a) f(x) = -b - \dfrac{a+2}{2}\,x + \dfrac{2b + a -2}{2}\,x^2
b) f(x) = a\displaystyle\frac{x(x-1)}{2} - b(1-x^2) - 2\displaystyle\frac{x(x+1)}{2}

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