Achar aproximações para a solução do PVI \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=x-y+2 \\\ y(0)=2\end{array}\right. na malha de [ 0,1 ] com h=0,1.

Passo 1

O enunciado pede: aproximar a solução do problema de valor inicial
\begin{cases} y'(x)=x-y+2,\\[4pt] y(0)=2 \end{cases}
na malha do intervalo [0,1] com passo h=0,1. Ou seja, queremos valores aproximados de y(x) nos pontos
x_n=0+ n\cdot h,\quad n=0,1,2,\dots,10,
ou seja x_0=0,\;x_1=0,1,\;x_2=0,2,\;\dots,\;x_{10}=1. As informações relevantes dadas pelo enunciado são a equação diferencial, a condição inicial y(0)=2, o intervalo [0,1] e o passo h=0,1. A tarefa é fornecer as aproximações y_n\approx y(x_n) em cada nó da malha.]

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática e fórmula): o método de Euler explícito aproxima a solução usando a inclinação no início de cada subintervalo. Se definirmos
f(x,y)=x-y+2,
então a derivada y'(x) no ponto (x_n,y_n) é f(x_n,y_n). A ideia é aproximar a solução por segmentos de reta com inclinação f(x_n,y_n). A fórmula iterativa do método de Euler explícito é
y_{n+1}=y_n + h\,f(x_n,y_n).
Aqui: y_n é a aproximação em x_n, h é o passo (aqui h=0,1), e f(x_n,y_n) é a inclinação estimada. O ponto inicial é x_0=0, y_0=2. Agora vamos aplicar essa fórmula passo a passo para n=0,1,\dots,9 e calcular y_1,\dots,y_{10}.

Passo 3

Cálculo de n=0 para n=1:
x_0=0,\quad y_0=2.
Calcule f(x_0,y_0)=x_0-y_0+2=0-2+2=0.
Aplicando Euler:
y_1=y_0+h\,f(x_0,y_0)=2+0,1\cdot 0=2.

Passo 4

Cálculo de n=1 para n=2:
x_1=0,1,\quad y_1=2.
Calcule f(x_1,y_1)=0,1-2+2=0,1.
Aplicando Euler:
y_2=y_1+0,1\cdot 0,1=2+0,01=2,01.

Passo 5

Cálculo de n=2 para n=3:
x_2=0,2,\quad y_2=2,01.
Calcule f(x_2,y_2)=0,2-2,01+2=0,19.
Aplicando Euler:
y_3=2,01+0,1\cdot 0,19=2,01+0,019=2,029.

Passo 6

Cálculo de n=3 para n=4:
x_3=0,3,\quad y_3=2,029.
Calcule f(x_3,y_3)=0,3-2,029+2=0,271.
Aplicando Euler:
y_4=2,029+0,1\cdot 0,271=2,029+0,0271=2,0561.

Passo 7

Cálculo de n=4 para n=5:
x_4=0,4,\quad y_4=2,0561.
Calcule f(x_4,y_4)=0,4-2,0561+2=0,3439.
Aplicando Euler:
y_5=2,0561+0,1\cdot 0,3439=2,0561+0,03439=2,09049.

Passo 8

Cálculo de n=5 para n=6:
x_5=0,5,\quad y_5=2,09049.
Calcule f(x_5,y_5)=0,5-2,09049+2=0,40951.
Aplicando Euler:
y_6=2,09049+0,1\cdot 0,40951=2,09049+0,040951=2,131441.

Passo 9

Cálculo de n=6 para n=7:
x_6=0,6,\quad y_6=2,131441.
Calcule f(x_6,y_6)=0,6-2,131441+2=0,468559.
Aplicando Euler:
y_7=2,131441+0,1\cdot 0,468559=2,131441+0,0468559=2,1782969.

Passo 10

Cálculo de n=7 para n=8:
x_7=0,7,\quad y_7=2,1782969.
Calcule f(x_7,y_7)=0,7-2,1782969+2=0,5217031.
Aplicando Euler:
y_8=2,1782969+0,1\cdot 0,5217031=2,1782969+0,05217031=2,23046721.

Passo 11

Cálculo de n=8 para n=9:
x_8=0,8,\quad y_8=2,23046721.
Calcule f(x_8,y_8)=0,8-2,23046721+2=0,56953279.
Aplicando Euler:
y_9=2,23046721+0,1\cdot 0,56953279=2,23046721+0,056953279=2,287420489.

Passo 12

Cálculo de n=9 para n=10:
x_9=0,9,\quad y_9=2,287420489.
Calcule f(x_9,y_9)=0,9-2,287420489+2=0,612579511.
Aplicando Euler:
y_{10}=2,287420489+0,1\cdot 0,612579511=2,287420489+0,0612579511=2,3486784401.

Resposta

x_0=0{,}0:\\ y_0=2{,}0000000000
x_1=0{,}1:\\ y_1=2{,}0000000000
x_2=0{,}2:\\ y_2=2{,}0100000000
x_3=0{,}3:\\ y_3=2{,}0290000000
x_4=0{,}4:\\ y_4=2{,}0561000000
x_5=0{,}5:\\ y_5=2{,}0904900000
x_6=0{,}6:\\ y_6=2{,}1314410000
x_7=0{,}7:\\ y_7=2{,}1782969000
x_8=0{,}8:\\ y_8=2{,}2304672100
x_9=0{,}9:\\ y_9=2{,}2874204890
x_{10}=1{,}0:\\ y_{10}=2{,}3486784401

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