Achar aproximações para a solução do PVI
na malha
com
usando o método da equação (10).
Passo 1
O problema pede que a gente encontre aproximações para a solução do problema de valor inicial (PVI)
na malha
com passo
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é calcular aproximações
para
.]
Passo 2
Vou usar o método indicado pela “equação (10)”. Aqui vou interpretar essa equação como o método explícito de Euler (método de Euler à frente), que é um método simples e muito usado em provas quando se pede aplicar uma fórmula básica. A fórmula do método de Euler é
onde:
-
é a aproximação para ; -
é o ponto atual da malha; -
é o passo; -
é a função do lado direito da EDO; aqui .\n
Comentário didático: a ideia do método é usar a inclinação em(que é ) como se fosse constante no intervalo e avançar uma distância nessa direção. O erro local do método de Euler é da ordem e o erro global é — isso quer dizer que para pequeno as aproximações melhoram, mas Euler não é super preciso comparado a métodos de ordem superior. Agora vamos aplicar a fórmula passo a passo com .
Passo 3
Inicialização:
,
.\n
Calculamos . Portanto, usando Euler,
Calculamos
Assim
em
.
Passo 4
Agora
,
.\n
Calculamos . Então
Calculamos
Logo
em
.
Passo 5
Portanto
em
.
Passo 6
Ficamos com
em
.
Passo 7
Logo
em
.
Passo 8
Assim
em
.
Passo 9
Portanto
em
.
Passo 10
Logo
em
.
Passo 11
Temos
em
.
Passo 12
Portanto
em
.