Achar aproximações para a solução do PVI \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=x-y+2 \\\ y(0)=2\end{array}\right. na malha [0,1] com h=0,1 usando o método da equação (10).

Passo 1

O problema pede que a gente encontre aproximações para a solução do problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} y' = x - y + 2,\\[4pt] y(0)=2, \end{cases}
na malha [0,1] com passo h=0,1.\n
Informações relevantes fornecidas:
y'(x,y)=f(x,y)=x-y+2,\qquad y(0)=2,\qquad h=0,1,\qquad x_n=0,0{,}1,\ldots,1{,}0.
A tarefa é calcular aproximações y_n\approx y(x_n) para n=0,1,\dots,10.]

Passo 2

Vou usar o método indicado pela “equação (10)”. Aqui vou interpretar essa equação como o método explícito de Euler (método de Euler à frente), que é um método simples e muito usado em provas quando se pede aplicar uma fórmula básica. A fórmula do método de Euler é
y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),
onde:
  • y_n é a aproximação para y(x_n);
  • x_n é o ponto atual da malha;
  • h é o passo;
  • f(x,y)=y'(x,y) é a função do lado direito da EDO; aqui f(x,y)=x-y+2.\n
    Comentário didático: a ideia do método é usar a inclinação em x_n (que é f(x_n,y_n)) como se fosse constante no intervalo [x_n,x_{n+1}] e avançar uma distância h nessa direção. O erro local do método de Euler é da ordem O(h^2) e o erro global é O(h) — isso quer dizer que para h pequeno as aproximações melhoram, mas Euler não é super preciso comparado a métodos de ordem superior. Agora vamos aplicar a fórmula passo a passo com h=0{,}1.

Passo 3

Inicialização: x_0=0, y_0=2.\n
Calculamos f(x_0,y_0)=f(0,2)=0-2+2=0. Portanto, usando Euler,
y_1=y_0+h f(x_0,y_0)=2+0{,}1\cdot 0=2.
Assim y_1=2 em x_1=0{,}1.

Passo 4

Agora x_1=0{,}1, y_1=2.\n
Calculamos f(x_1,y_1)=f(0{,}1,2)=0{,}1-2+2=0{,}1. Então
y_2=y_1+h f(x_1,y_1)=2+0{,}1\cdot 0{,}1=2+0{,}01=2{,}01.
Logo y_2=2{,}01 em x_2=0{,}2.

Passo 5

x_2=0{,}2,\; y_2=2{,}01.\n
f(x_2,y_2)=0{,}2-2{,}01+2=0{,}19. Aplicando fórmula,
y_3=y_2+0{,}1\cdot 0{,}19=2{,}01+0{,}019=2{,}029.
Portanto y_3=2{,}029 em x_3=0{,}3.

Passo 6

x_3=0{,}3,\; y_3=2{,}029.\n
f(x_3,y_3)=0{,}3-2{,}029+2=0{,}271. Então
y_4=y_3+0{,}1\cdot 0{,}271=2{,}029+0{,}0271=2{,}0561.
Ficamos com y_4=2{,}0561 em x_4=0{,}4.

Passo 7

x_4=0{,}4,\; y_4=2{,}0561.\n
f(x_4,y_4)=0{,}4-2{,}0561+2=0{,}3439. Então
y_5=y_4+0{,}1\cdot 0{,}3439=2{,}0561+0{,}03439=2{,}09049.
Logo y_5=2{,}09049 em x_5=0{,}5.

Passo 8

x_5=0{,}5,\; y_5=2{,}09049.\n
f(x_5,y_5)=0{,}5-2{,}09049+2=0{,}40951. Aplicando Euler,
y_6=y_5+0{,}1\cdot 0{,}40951=2{,}09049+0{,}040951=2{,}131441.
Assim y_6=2{,}131441 em x_6=0{,}6.

Passo 9

x_6=0{,}6,\; y_6=2{,}131441.\n
f(x_6,y_6)=0{,}6-2{,}131441+2=0{,}468559. Então
y_7=y_6+0{,}1\cdot 0{,}468559=2{,}131441+0{,}0468559=2{,}1782969.
Portanto y_7=2{,}1782969 em x_7=0{,}7.

Passo 10

x_7=0{,}7,\; y_7=2{,}1782969.\n
f(x_7,y_7)=0{,}7-2{,}1782969+2=0{,}5217031. Aplicando Euler,
y_8=y_7+0{,}1\cdot 0{,}5217031=2{,}1782969+0{,}05217031=2{,}23046721.
Logo y_8=2{,}23046721 em x_8=0{,}8.

Passo 11

x_8=0{,}8,\; y_8=2{,}23046721.\n
f(x_8,y_8)=0{,}8-2{,}23046721+2=0{,}56953279. Assim
y_9=y_8+0{,}1\cdot 0{,}56953279=2{,}23046721+0{,}056953279=2{,}287420489.
Temos y_9=2{,}287420489 em x_9=0{,}9.

Passo 12

x_9=0{,}9,\; y_9=2{,}287420489.\n
f(x_9,y_9)=0{,}9-2{,}287420489+2=0{,}612579511. Finalmente
y_{10}=y_9+0{,}1\cdot 0{,}612579511=2{,}287420489+0{,}0612579511=2{,}3486784401.
Portanto y_{10}\approx 2{,}3486784401 em x_{10}=1{,}0.

Resposta

x=0{,}0:\; y\approx 2
x=0{,}1:\; y\approx 2
x=0{,}2:\; y\approx 2{,}01
x=0{,}3:\; y\approx 2{,}029
x=0{,}4:\; y\approx 2{,}0561
x=0{,}5:\; y\approx 2{,}09049
x=0{,}6:\; y\approx 2{,}131441
x=0{,}7:\; y\approx 2{,}1782969
x=0{,}8:\; y\approx 2{,}23046721
x=0{,}9:\; y\approx 2{,}287420489
x=1{,}0:\; y\approx 2{,}3486784401

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