Achar aproximações para a solução do PVI \left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=-x y \\\ y(0)=1\end{array}\right. na malha [ 0,1 ] com h=0,5 usando o método de Euler Aprimorado.
na malha [0,1] com passo h=0{,}5. Precisamos obter aproximações para y nos pontos da malha. As informações relevantes são:
x_0=0,\quad x_1=0{,}5,\quad x_2=1,
y(0)=y_0=1,
e a função que define a derivada é f(x,y)=-x\,y.
A pergunta do exercício é: calcular as aproximações y_1 em x_1=0{,}5 e y_2 em x_2=1 usando o método de Euler Aprimorado.]
Passo 2
Vou explicar o método de Euler Aprimorado (também chamado de método de Heun ou passo duplo explícito) de forma clara, para você saber aplicar na prova sem mistério.
A ideia: em vez de usar apenas a inclinação no início do passo (como o Euler explícito), fazemos uma previsão da solução no final do passo e usamos a média das inclinações início/fim — isso costuma melhorar muito a precisão.
Notação:
x_n\\ \text{é o ponto atual},\qquad y_n\\ \text{é a aproximação em }x_n,ééçã
h\\ \text{é o passo},é
f(x,y)=\frac{dy}{dx}.
Fórmulas do método (duas etapas por passo):
previsor (Euler explícito):