Achar aproximações para a solução do PVI \left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=-x y \\\ y(0)=1\end{array}\right. na malha [ 0,1 ] com h=0,5 usando o método de Euler Aprimorado.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx}=-x\,y,\\[6pt] y(0)=1, \end{cases}
na malha [0,1] com passo h=0{,}5. Precisamos obter aproximações para y nos pontos da malha. As informações relevantes são:
x_0=0,\quad x_1=0{,}5,\quad x_2=1,
y(0)=y_0=1,
e a função que define a derivada é f(x,y)=-x\,y.
A pergunta do exercício é: calcular as aproximações y_1 em x_1=0{,}5 e y_2 em x_2=1 usando o método de Euler Aprimorado.]

Passo 2

Vou explicar o método de Euler Aprimorado (também chamado de método de Heun ou passo duplo explícito) de forma clara, para você saber aplicar na prova sem mistério.
A ideia: em vez de usar apenas a inclinação no início do passo (como o Euler explícito), fazemos uma previsão da solução no final do passo e usamos a média das inclinações início/fim — isso costuma melhorar muito a precisão.
Notação:
x_n\\ \text{é o ponto atual},\qquad y_n\\ \text{é a aproximação em }x_n,ééçã
h\\ \text{é o passo},é
f(x,y)=\frac{dy}{dx}.
Fórmulas do método (duas etapas por passo):
previsor (Euler explícito):
\tilde{y}_{n+1}=y_n + h\,f(x_n,y_n).
corretor (média das inclinações):
y_{n+1}=y_n + \frac{h}{2}\big(f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},\tilde{y}_{n+1})\big).
O que cada termo significa:
  • f(x_n,y_n) é a inclinação no começo do passo.
  • \tilde{y}_{n+1} é o valor estimado em x_{n+1} usando Euler simples (previsão).
  • f(x_{n+1},\tilde{y}_{n+1}) é a inclinação estimada no fim do passo.
  • A média \tfrac{1}{2}(f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},\tilde{y}_{n+1})) é a inclinação usada para corrigir y_n.
Agora aplicamos isso passo a passo ao nosso PVI.

Passo 3

Primeiro passo: de x_0=0 para x_1=0{,}5.
Calcule f(x_0,y_0):
f(x_0,y_0) = -x_0\,y_0 = -0\cdot 1 = 0.
Previsor:
\tilde{y}_1 = y_0 + h\,f(x_0,y_0) = 1 + 0{,}5\cdot 0 = 1.
Observe: aqui o previsor ficou igual a 1 porque a inclinação inicial é zero.
Agora calcule f(x_1,\tilde{y}_1):
f(x_1,\tilde{y}_1) = -x_1\,\tilde{y}_1 = -0{,}5\cdot 1 = -\tfrac{1}{2}.
Corretor (média das inclinações):
y_1 = y_0 + \frac{h}{2}\big(f(x_0,y_0)+f(x_1,\tilde{y}_1)\big) = 1 + \frac{0{,}5}{2}\big(0 + (-\tfrac{1}{2})\big).
Calcule passo a passo:
\frac{0{,}5}{2} = 0{,}25,\qquad 0{,}25\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big) = -\tfrac{1}{8}.
Portanto
y_1 = 1 - \tfrac{1}{8} = \tfrac{7}{8} = 0{,}875.
Resumo do primeiro passo: y_1=\tfrac{7}{8}=0{,}875 em x_1=0{,}5.

Passo 4

Segundo passo: de x_1=0{,}5 para x_2=1.
Calcule f(x_1,y_1) (usando o y_1 que acabamos de obter):
f(x_1,y_1) = -x_1\,y_1 = -0{,}5\cdot \tfrac{7}{8} = -\tfrac{7}{16} = -0{,}4375.
Previsor:
\tilde{y}_2 = y_1 + h\,f(x_1,y_1) = \tfrac{7}{8} + 0{,}5\cdot\big(-\tfrac{7}{16}\big).
Calcule:
0{,}5\cdot\big(-\tfrac{7}{16}\big) = -\tfrac{7}{32}.
Então
\tilde{y}_2 = \tfrac{7}{8} - \tfrac{7}{32}.
Colocando em denominador comum 32:
\tfrac{7}{8}=\tfrac{28}{32},\quad \tfrac{28}{32}-\tfrac{7}{32}=\tfrac{21}{32}.
Logo
\tilde{y}_2=\tfrac{21}{32}=0{,}65625.
Agora calcule f(x_2,\tilde{y}_2):
f(x_2,\tilde{y}_2) = -x_2\,\tilde{y}_2 = -1\cdot \tfrac{21}{32} = -\tfrac{21}{32} = -0{,}65625.
Corretor:
y_2 = y_1 + \frac{h}{2}\big(f(x_1,y_1)+f(x_2,\tilde{y}_2)\big) = \tfrac{7}{8} + 0{,}25\big(-\tfrac{7}{16} - \tfrac{21}{32}\big).
Primeiro some as inclinações com denominador comum 32:
-\tfrac{7}{16} = -\tfrac{14}{32},\quad -\tfrac{14}{32} - \tfrac{21}{32} = -\tfrac{35}{32}.
Multiplicando por 0{,}25=\tfrac{1}{4}:
0{,}25\cdot\big(-\tfrac{35}{32}\big) = -\tfrac{35}{128}.
Agora escreva \tfrac{7}{8} com denominador 128:
\tfrac{7}{8}=\tfrac{112}{128}.
Então
y_2 = \tfrac{112}{128} - \tfrac{35}{128} = \tfrac{77}{128}.
Em decimal:
y_2=\tfrac{77}{128}=0{,}6015625.
Resumo do segundo passo: y_2=\tfrac{77}{128}=0{,}6015625 em x_2=1.

Passo 5

Para você ter uma ideia da qualidade da aproximação, mostramos rapidamente a solução exata (útil para conferir na hora de estudar).
Separe variáveis:
\frac{dy}{y} = -x\,dx.
Integrando:
\ln y = -\tfrac{x^2}{2} + C \quad\Rightarrow\quad y = C e^{-x^2/2}.
Como y(0)=1, temos C=1. Logo a solução exata é
y(x)=e^{-x^2/2}.
Valores exatos aproximados:
y(0{,}5)=e^{-1/8}\approx 0{,}882497,\qquad y(1)=e^{-1/2}\approx 0{,}606531.
Comparando com nossas aproximações:
y_1\approx 0{,}875\\ \text{(erro }\approx -0{,}0075\text{)},\qquad y_2\approx 0{,}6015625\\ \text{(erro }\approx -0{,}00497\text{)}.
Ou seja: o método deu aproximações muito próximas da solução exata com passo relativamente grande h=0{,}5.

Passo 6

Dicas práticas para a prova (pá pum, sem drama):
  • Trabalhe com frações racionais quando der (como fizemos: \tfrac{7}{8}, \tfrac{21}{32}, \tfrac{77}{128}) — evita erro de arredondamento e calculadora.
  • Lembre a sequência: calcule f(x_n,y_n) → previsor \tilde{y}_{n+1} → calcule f(x_{n+1},\tilde{y}_{n+1}) → corretor y_{n+1}.
  • Se a função f(x,y) for simples (como aqui, produto de x e y), os números costumam ficar racionais e é fácil fazer à mão.
  • Respira fundo: um passo por vez, escrevendo os cálculos. Você já consegue fazer isso rápido com prática.

Resposta

y(0)=1
y(0{,}5)=\tfrac{7}{8}=0{,}875
y(1)=\tfrac{77}{128}=0{,}6015625

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