Achar a área da parte do plano xa+yb+sc=1, compreendida entre os planos de coordenadas.

Passo 1

O enunciado pede para achar a área da parte do plano
xa + yb + zc = 1
que está no primeiro octante (ou seja, compreendida entre os planos coordenados x=0, y=0 e z=0).
Conteúdo principal: geometria analítica no espaço e cálculo de área de triângulo em R^3 usando produto vetorial.

Passo 2

Para encontrar a região, achamos os interceptos desse plano com cada eixo coordenado, fazendo duas variáveis zero:
y=0,;z=0 &Rightarrow x=a vértice A=(a,0,0), x=0,;z=0 &Rightarrow y=b vértice B=(0,b,0), x=0,;y=0 &Rightarrow z=c vértice C=(0,0,c) ééé
Logo, a parte do plano é o triângulo ABC.

Passo 3

Escolhemos A=(a,0,0) como referência e definimos dois vetores de lado do triângulo:
u = AB = (0,b,0) - (a,0,0) = (-a,,b,,0),
v = AC = (0,0,c) - (a,0,0) = (-a,,0,,c)

Passo 4

Calculamos o produto vetorial utimesv:
utimesv = i & j & k -,a & b & 0 -,a & 0 & c = l(bc,;ac,;abr)

Passo 5

A magnitude do vetor utimesv é
llVert utimesvrrVert = raiz(bc)^2 + (ac)^2 + (ab)^2 = raiza^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2
Como a área de um triângulo é metade da magnitude do produto vetorial dos lados, temos
Área = 12,llVert utimesvrrVert = 12,raiza^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 Á

Resposta

boxedÁrea = 12,raiza^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 Á

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