Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=0^infty 3^n n^2n!

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=0^infty 3^n n^2n!
O conteúdo que usaremos é o teste da razão de D’Alembert, indicado quando aparecem fatoriais e potências.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = 3^n n^2n!
e aplicamos o teste da razão, calculando
an+1an = 3^,n+1(n+1)^2/(n+1)!3^,nn^2/n!

Passo 3

Simplificando a expressão da razão, obtemos
an+1an = 3,(n+1)^2(n+1),n^2 = 3,(n+1)n^2 = 3n + 3n^2
Ao levar n a infinito,
limntoinftyl(tfrac3n + tfrac3n^2r)=0<1
Logo, o limite da razão é L=0.

Passo 4

Como no teste da razão temos L<1, concluímos que a série converge absolutamente. Além disso, o crescimento do fatorial no denominador domina o termo polinomial n^2 e a potência 3^n, reforçando a convergência.

Resposta

A série sumn=0^infty 3^n n^2n! converge absolutamente.

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