Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
O conteúdo que usaremos é o teste da razão de D’Alembert, indicado quando aparecem fatoriais e potências.
Passo 2
Definimos o termo geral
e aplicamos o teste da razão, calculando
Passo 3
Simplificando a expressão da razão, obtemos
Ao levar
a infinito,
Logo, o limite da razão é
.
Passo 4
Como no teste da razão temos
, concluímos que a série converge absolutamente. Além disso, o crescimento do fatorial no denominador domina o termo polinomial
e a potência
, reforçando a convergência.
Resposta
A série
converge absolutamente.