Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=2^infty ln nn^2+2

Passo 1

O problema pede para testar a convergência da série
sumn=2^inftyln nn^2+2
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas de termos positivos. Vamos usar o teste de comparação limite (ou de confronto assintótico) com uma série p-série.

Passo 2

Defina
an = ln nn^2+2 e bn = 1n^3/2
Sabemos que a p-série sum bn = sum 1/n^3/2 converge porque 3/2>1. Calculamos o limite
limntoinftyanbn = limntoinftyln nn^2+2,l(n^3/2r) = limntoinftyn^3/2,ln nn^2+2
Para ntoinfty, o termo dominante no denominador é n^2, então
limntoinftyn^3/2,ln nn^2+2 = limntoinftyln nn^1/2 = 0
Como esse limite é finito (igual a zero) e sum bn converge, segue do teste de comparação limite que sum an também converge.

Resposta

A série sumn=2^inftyln nn^2+2 converge.

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